25. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ

Variácie, permutácie a kombinácie bez opakovania a s opakovaním. Kombinačné čísla, ich vlastnosti, Pascalov trojuholník, binomická veta. Pravdepodobnosť náhodného javu, doplnkový jav, pravdepodobnosť zjednotenia a prieniku javov.

1. Koľko 5-ciferných prirodzených čísel možno zostaviť z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, ak :

a.) žiadna cifra sa neopakuje,

b.) neplatí podmienka v a.)

c.) musí byť deliteľné 5 a žiadna cifra sa neopakuje,

d.) majú byť z intervalu a žiadna cifra sa neopakuje.

2. Na kultúrnom večierku má vystúpiť päť účinkujúcich A, B, C, D, E. Koľko je možností na zostavenie programu, ak :

a.) C má vystupovať prvý a E má vystupovať posledný,

b.) A, B, D majú vystúpiť v ľubovoľnom poradí, ale za sebou,

c.) C má vystúpiť pred E.

3. Riešte v N rovnice a nerovnice :

a.)

b.)

c.)

d.)

4. Vypočítajte :

a.)

b.) Pre ktoré sa piaty člen binomického rozvoja výrazu sa rovná číslu 105 ?

5. V debne s 30 výrobkami sú 3 chybné. Určte pravdepodobnosť toho, že medzi piatimi náhodne vybranými výrobkami je najviac jeden chybný.

6. Jano chytí aspoň jednu rybu s pravdepodobnosťou 0,4; Milan s pravdepodobnosťou 0,6 a Fero s pravdepodobnosťou 0,2. Aká je pravdepodobnosť, že chlapci spolu chytia aspoň jednu rybu?

7. Koľko rôzných šesťčlenných skupín možno zostaviť zo siedmich chlapcov a štyroch dievčat, ak v každej skupine majú byť aspoň tri dievčatá ?

8. Vojenská jednotka má troch dôstojníkov, šiestich poddôstojníkov a desiatich vojakov. Koľkými spôsobmi možno z nich vybrať strážny oddiel, ktorý tvorí jeden dôstojník, dvaja poddôstojníci a päť vojakov ? Ako je to v prípade keď sú určení dvaja poddôstojníci a traja vojaci ?

9. Riešte v N rovnicu:

10. a) Zjednodušte výraz:

b) Sčítajte:

11. Na kružnici sú dané body A₁, A_2, A₃, ……, A₁₂ ( v tomto poradí). Vypočítajte:

a.) Počet trojuholníkov s vrcholmi v týchto bodoch,

b.) Počet trojuholníkov s vrcholmi v daných bodoch, ktoré nemajú spoločné body s priamkou A₂A8,

c.) Počet konvexných štvoruholníkov s vrcholmi v daných bodoch, ktoré majú spoločné body s priamkou A₁A_5.

12. V krabici je 15 lístkov, na ktorých sú mená 6 chlapvov a 9 dievčat. Lístky premiešame a 2 z nich vyberieme. Aká je pravdepodobnosť, že na obidvoch lístkoch sú mená dievčat ?

13. V obchode je vystavených 10 hrncov, z ktorých sú 3 chybné. Kupujúci si náhodne vyberie 3 hrnce. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jeden z nich je chybný ?

14. Na osev vybrali odrody púšenice a to 20 % prvej odrody a 80 % druhej odrody. Pravdepodobnosť, že zo zrna vyrastie klas je pre prvú odrodu 0,95 a pre druhú odrodu 0,98. Aká je pravdepodobnosť, že z náhodne vybratého zrna vyrastie klas ?

15. Vypočítajte aritmetický priemer čísel x₁, x₂, ….x₁₅ ak sa číslo 2 vyskytuje medzi nimi 5-krát, číslo 7 sa vyskytuje 8-krát a číslo 10 12-krát. Vypočítajte tiež modus, medián, smerodajnú odchýlku a rozptyl opísaného znaku.

16. Vypočítajte koeficient korelácie medzi výškou a hmotnosťou 10 študentov podľa údajov uvedených v tabuľke.

Výška xi	162	164	165	166	166	170	170	175	177	179
Hmotnosť yi	60	65	68	66	68	66	70	68	75	70

17. Riešte v N nerovnicu:

18. M/str. 147- 157

19. Pravdepodobnosť M /159/166

20. Riešte rovnicu: V( 2, x+1 ) < 2 V( 3, x)

21. Koľko trikolór ( len z vodorovných pruhov ) možno zošiť z bielej, žltej, červenej a zelenej látky, ak sa v každej trikolóre môže každá látka vyskytovbať len raz ?

22. Koľko šesť ciferných čísel je možné zostaviť z cifier 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak :

a.) Čísla sa majú začínať cifrou 5,

b.) Čísla sa majú začínať ciframi 5 alebo 6,

c.) Čísla sú deliteľné 4,

d.) Končia trojčíslom 361?

Riešte pre prípad, že sa cifra v zostavených číslach vyskytuje práve raz, potom pre prípad, že sa cifry môžu opakovať.

23. Ak sa zväčší počet prvkov o dva, zväčší sa počet permutácií štyridsaťdvakrát. Koľko je prvkov ?