Matematika – úroveň A

Zadanie 1

1. Opíšte základné druhy dôkazov (priamy, nepriamy, nepriamy sporom) a dokumenujte ich na dôkaze týchto tvrdení:

· Ak číslo x je deliteľné 3 a číslo y nie je deliteľné 3, tak číslo x + y nie je deliteľné 3.

· Ak je prirodzené číslo zakončené cifrou 5, tak jeho druhá mocnina je zakončená dvojčíslím 25.

· Ak číslo n nie je deliteľné číslom 15, tak nie je deliteľné ani číslom 5.

2. Anička postupovala pri riešení nerovnice nasledovne:

najprv nerovnicu upravila na tvar ,

potom obidve strany umocnila na druhú,

dostala nerovnicu

a z nej úpravou nerovnicu ,

ktorej riešením je interval .

Potom si ale uvedomila, že riešením pôvodnej nerovnice je aj číslo . V ktorom kroku svojho postupu riešenia nerovnice teda urobila Anička chybnú alebo neekvivalentnú úpravu a ako treba jej postup opraviť, aby ním našla všetky riešenia danej nerovnice?

3. Zostrojte trojuholník ABC, ak je daná a, v_a, t_a. Aký vzťah musí byť medzi veľkosťami daných veličín, aby

a) daná úloha nemala riešenie,

b) daná úloha mala práve jedno riešenie,

c) jeden z uhlovbol tupý?

Zadanie 2

1. Vysvetlite obsah pojmov výrok, pravdivostná hodnota výroku, negácia výroku, výroky s kvantifikátormi. Vyslovte negáciu výroku: „Nie je pravda, že aspoň 4 z 30 žiakov našej triedy majú viac ako 18 rokov.“

2. Nech D je bod strany základne BC rovnostranného trojuholníka ABC, nech E je päta kolmice vedenej z bodu D na stranu AB. Dokážte, že

3. V našej triede je 18 žiakov, každý z nich ovláda angličtinu, francúzštinu alebo nemčinu. Anglicky vie 10 žiakov, 4 žiaci ovládajú len nemčinu a 1 len francúzštinu, piati vedia francúzsky aj nemecky. Koľko žiakov ovláda všetky 3 jazyky?

Ako treba v predchádzajúcej úlohe zmeniť číselné hodnoty, aby výsledok bol 0? Uveďte príklad takých číselných hodnôt, pre ktoré by táto úloha neodpovedala reálnej situácii (teda nemala by žiadne riešenie).

Zadanie 3

1. Vysvetlite obsah pojmov lineárna funkcia, jej graf, určenie lineárnej funkcie pomocou hodnôt v dvoch rôznych bodoch, smernica grafu lineárnej funkcie. Určte predpis lineárnej funkcie pomocou smernice a hodnoty v jednom bode. Konkrétne hodnoty si zvoľte.

2. Janko našiel v zošite nasledujúci zápis konštrukcie trojuholníka ABC:

a) kružnica k s polomerom 5 cm,

b) na kružnici k zvolím bod A,

c) kružnica m so stredom v bode A a polomerom 4 cm,

d) priesečník kružníc k a m označím B,

e) rovnobežka c‘ s úsečkou AB vzdialená od tejto úsečky 2 cm,

f) priesečník priamky c‘ s kružnicou k označím C.

Ktoré prvky trojuholníka ABC boli dané v úlohe, ku ktorej patril tento zápis konštrukcie?

3. Ktoré dvojciferné prirodzené číslo sa po zámene cifier zväčší o 36? Akým číslom treba nahradiť číslo 36, aby uvedená úloha:

a) nemala riešenie,

b) mala práve jedno riešenie?

Zadanie 4

1. Opíšte limitný proces vedúci k nájdeniu smernice dotyčnice ku grafu funkcie v bode Opisovaný postup dokumentujte na nájdení predpisu dotyčnice k parabole v bode .

2. Odvoďte vzorec pre výpočet koreňov kvadratickej rovnice.

3. Strany trojuholníka ležia na priamkach ,,. Určte stred a polomer kružnice trojuholníku opísanej.

Zadanie 5

1. Vysvetlite obsah pojmov kvadratická rovnica a jej korene, diskriminant. Demonštrujte súvis riešenia kvadratickej nerovnice s koreňmi kvadratickej rovnice a s grafom kvadratickej funkcie na konkrétnom príklade.

2. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n je číslo deliteľné 6.

3. V lotérii je s lósov, z ktorých pri ťahu vyhráva k lósov. Aká je pravdepodobnosť, že majiteľ r lósov vyhrá aspoň na jeden? Aký vzťah musí byť medzi číslami s a r, aby pri bola hľadaná pravdepodobnosť väčšia než 25% ?