10.3.
Kvadratické útvary
10.3.1 Napísať analytické vyjadrenie kružnice danej stredom a polomerom
10.3.2 Určiť charakteristické prvky kružnice z jej analytického vyjadrenia
10.3.3 Klasifikovať analytickou metódou vzájomnú polohu priamky a kružnice
10.3.4 Určiť rovnicu dotyčnice kružnice v jej ľubovoľnom bode
10.3.5 Určiť rovnicu dotyčnice kružnice prechádzajúcu bodom mimo kružnice
10.3.6 Určiť rovnicu kružnice opísanej danému trojuholníku
10.3.1 Napísať analytické vyjadrenie kružnice danej stredom a polomerom
1) Napíšte rovnicu kružnice so stredom S[
, -1] a
polomerom r = 
. Zistite, či na nej leží bod A[2
, 0].
2) Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred S[6, 7] a prechádza bodom A[0, 9].
3) Napíšte rovnicu kružnice, ktorej
a) priemerom je úsečka AB, A[0, 7], B[4, 1],
b) priemer tvoria body A[-3; 0] a B[3; 6].
4) Určte súradnice priesečníkov kružnice k(S, r)
a) S[5, 2], r
= 7 b) S[
, -4], r = 2,5
so súradnicovými osami.
5) Napíšte rovnice všetkých kružníc, ktoré sa dotýkajú súradnicových osí a prechádzajú bodom
a) P[1, 2] b) R[6, 6] c) T[0, 5]
10.3.2 Určiť charakteristické prvky
kružnice z jej analytického vyjadrenia
1) Zistite, či nasledujúce rovnice sú rovnicami kružníc. V kladnom prípade určte stred i polomer a kružnice načrtnite.
a) x2 + y2 - 6x + 5y + 6 = 0 b) x2 + y2 + 4x - 8y + 1 = 0
c) x2 + y2 - 4x + 7 = 0 d) 2x2 + 2y2 - 6y - 3 = 0
2) Akú rovnicu má stredná (spojnica stredov) kružníc x2 + y2 + 14x - 10y + 25 = 0,
x2 + y2 - 6x - 4y = 23 ?
3) Aká je dlhá tetiva kružnice 5x2 + 5y2 - 9y - 38 =
0, ak ju bod P[1, 
]
rozpoľuje?
4) Určte najmenšiu vzdialenosť bodu P[-7, 2] od kružnice k : x2 + y2 - 10x - 14y - 151 = 0.
5) Napíšte rovnicu priamky, na ktorej leží priemer kružnice k : x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0, ktorý je kolmý na priamku p : 5x + 2y - 13 = 0.
10.3.3. Klasifikovať analytickou metódou vzájomnú polohu priamky a
kružnice
1) Ktorá kružnica so stredom S[5, 4] sa dotýka priamky 3x + 2y - 10 = 0?
2) Nájdite spoločné body kružnice danej rovnicou x2 + y2 - 2x + 4y = 0 a priamky
p : 2x - y - 8 = 0.
3) Napíšte rovnicu priamky p, na ktorej leží tá tetiva kružnice k, ktorú rozpoľuje bod M.
k : (x - 3)2 + (y - 7)2 = 169, 
.
4) Pre ktoré hodnoty parametra q Î R je priamka y = x + q dotyčnicou kružnice
x2 + y2 - 10x - 12y + 53 = 0?
5) Určte vzájomnú polohu:
a) priamky x = 1 + 3t, y = -2 + 4t, t Î R a kružnice x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0,
b) priamky x = 1 - 4t, y = -2 + 3t, t Î R a kružnice x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0.
10.3.4 Určiť rovnicu dotyčnice kružnice v jej ľubovoľnom bode.
1) Napíšte rovnicu dotyčnice kružnice k v danom bode A.
a) k : x2 + y2 = 25, A[3, 4]
b) k : x2 + y2 + 2x - 24 = 0, A[3, 3]
2) Určte dotyčnicu kružnice k v jej bode T.
a) k : x2 + y2 = 25, T[x, -4]
b) k : (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25, T[-4, y]
3) Napíšte rovnice dotyčníc kružnice x2 + y2 = 13, ktoré sa jej dotýkajú v jej priesečníkoch s priamkou x - 5y + 13 = 0.
10.3.5 Určiť rovnicu dotyčnice kružnice prechádzajúcu bodom mimo
kružnice
1) Určte body dotyku dotyčníc vedených bodom O[0, 0] ku kružnici, ktorá je daná rovnicou
x2 + y2 + 10x + 10y + 49 = 0.
2) Z bodu A[4, 2] sú vedené dotyčnice ku kružnici x2 + y2 = 10. Určte uhol, ktorý zvierajú .
3) Určte rovnice dotyčníc ku krivke x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, ktoré prechádzajú bodom
W[9, 2].
4) Určte rovnice dotyčníc ku krivke (x + 5)2 + (y - 3)2 = 36, ktoré sú rovnobežné s priamkou AB, A[0, -7], B[4, 1].
10.3.6 Určiť rovnicu kružnice opísanej danému trojuholníku
1) Napíšte rovnicu kružnice, ktorá je opísaná trojuholníku ABC, ak A[2, 1], B[3, 0], C[0, 5]. Určte jej polomer a stred.
2) Napíšte rovnicu kružnice, ktorá je opísaná trojuholníku ABC, ak
a) A[2, 1], B[1, 4], C[6, 9]
b) A[-1, 3], B[0, 2], C[-1, -1]