10.2. Lineárne útvary

10.2. 1  Vypočítať súradnice stredu úsečky

10.2. 2  Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov

10.2. 3  Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny

10.2. 4  Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi

10.2. 5  Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou

10.2. 6  Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi

10.2. 7  Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v danej rovine

10.2. 8  Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik

10.2. 9  Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich prienik

10.2.10 Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín

10.2.11 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou priamkou je rovnobežná

10.2.12 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú priamku je kolmá

10.2.13 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná

10.2.14 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechá­dza daným bodom a na danú rovinu je kolmá

10.2.15 Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechá­dza daným bodom a s danou rovinu je rovnobežná

10.2.16 Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine)

10.2.17 Vypočítať odchýlku dvoch priamok

10.2.18 Vypočítať odchýlku dvoch rovín

10.2.19 Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny

10.2.20 Vypočítať odchýlku priamky od roviny

 

 

 

 

10.2.1. Vypočítať súradnice stredu úsečky

 

1) Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB, ak

a)   A[-4, 3], B[0, -1]

b)  A[-2, 4], B[-3, -9]

c)   A[1/2, 3/2], B[-3/10, -6/10 ]

d)  A[, ], B[, -5]

 

2) Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB, ak platí :

a)   A[3, -4, -1], B[-3, 8, -5]

b)  A[1/2, 1/4, -3/2], B[-3/2, 3/4, -1/6]

c)   A[0,4; 0,25; -0,5], B[1/5, -5/4, -1/2]

d)  A[, + , /6], B[-, - , /3]

 

3) V stredovej súmernosti je obrazom bodu A[-1/2, 3/5, -17/10] bod A¢[1,3; -1,6; -1,8]. Určte súradnice stredu súmernosti.

 

4) Dané sú body A, S. Určte súradnice bodu B tak, aby bod S bol stredom úsečky AB.

a) A[4, -5], S[-3, 2]

b) A[1, -1/2], S[1/2, -3/4]

c) A[3, -2, 7], S[-1, 2, 3]

d) A[-0,7; -0,8; 0,05], S[1/4, -2/5, -7/8]

 

5) Trojuholník T2 má vrcholy v stredoch strán trojuholníka T1. Určte súradnice vrcholov trojuholníka T2, ak trojuholník T1 má vrcholy [1; 6], [-5; 0], [7; -4].

 

10.2.2 Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov

 

1) Vypočítajte vzdialenosť bodov A, B, ak je dané:

a)   A[-4, 2], B[-3, 5]

b)  A[-1/2, 2],  B[0,1; 1,2]

c)   A[1/2, -1, 3],  B[2, 1, -3]

d)  A[1/2, 3/2, -7/2], B[-0,4; 0,3; 0,1]

 

2) Na osi x určte bod tak, aby jeho vzdialenosť od bodu A[-2, 8] bola 10.

 

3) Na osi x nájdite bod tak, aby mal od bodov A[-3, 2, 2], B[2, 1, -2]  rovnakú vzdialenosť.

 

4) Vypočítajte obsah trojuholníka K[1; 1], L[2; 3], M[5; -1] pomocou tzv. Herónovho vzorca

                                      

kde a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka a 

 

10.2.3  Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny

 

1) Určte, či vektory  sú smerové vektory priamky AB (A[-2, -3], B[-1, 6]).

 

2) Určte číslo p tak, aby vektor  bol smerovým (normálovým) vektorom priamky AB.

a)   A[-1, 1], B[2, 3],

b)  A[2/3, 1], B[-1, -1/3], .

 

3) Určte smernicu k (smerový uhol α) priamky AB, ak

a) A[8, 1], B[6, 5]

c)   A[1, 3], B[-2, 1]

 

4) Určte normálový vektor roviny

a)         α : x + 2y + 3z - 4 = 0

b)        β : 3x + y - z - 74 = 0

c)         γ : x -3z + 10 = 0

d)         

e)        

 

10.2.4 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi

 

1) Napíšte parametrické vyjadrenie (všeobecnú rovnicu, smernicový tvar) priamky, ktorá je určená bodmi A, B.

a)   A[1, -1], B[2, 3]                       b) A[2, -3], B[0, 2]

 

2) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky prechádzajúcej bodmi A, B.

a)    A[-1, 2, -5], B[3, -2, -4]

b)   A[3, 0, 2], B[3, 5, -3]

c)    A[1, 0, 0], B[4, -3, 3]

d)   A[-7, -6, 4], B[-7, 6, -4]

 

3) Napíšte parametrické vyjadrenie (všeobecnú rovnicu) osi úsečky AB, ak

a)    A[3, -3], B[-1, -2]

b)   A[-4, 2], B[5, 2]

c)    A[3, -7], B[-1, 5]

d)   A[2, 5], B[-3, 9]

 

4) Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá je daná smernicou k a q je úsek, ktorý priamka vytína na osi y.

a)    k = 3, q = -2

b)   k = -2, q = -5

c)    k = -1/2, q = 4

d)   k = 0, q = 7

 

5) Určte smernicu priamky p : y = kx - 1, ak viete, že prechádza bodom A.

a) A[1, 3]                                       b) A[-2, 1]

 

10.2.5 Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou

 

1) Zistite rovnicu lineárnej funkcie, ak jej graf obsahuje body

a)    A[4, 1], B[1, 4]

b)   C[-2, 5], D[2, -5]

c)    G[4, 5], H[7, 5]

d)   I[-3, -3], J[4, 7]

 

2) Zistite, či všetky 3 body môžu patriť grafu tej istej lineárnej funkcie:

a)    A[2, 5], B[0, 0], C[3, -1]

b)   D[-2, 5], E[4, 3], F[1, 4]

c)    G[4, 9], H[-4, 1], I[6, 11]

d)   J[6, 6], K[4, -1], L[-3, -1]

 

3) Dané sú body A[5, -2], B[1, 6].

a)    Napíšte parametrické vyjadrenie priamky AB.

b)   Určte c2 tak, aby bod C[-3, c2] ležal na priamke AB.

c)    Určte súradnice bodu S, ktorý je stredom úsečky AB.

d)   Určte súradnice takého bodu D ležiaceho na polpriamke AB, ktorého vzdialenosť od bodu A je trikrát väčšia, ako vzdialenosť bodu B od bodu A.

 

10.2.6 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi

 

1) Napíšte parametrické vyjadrenie roviny určenej bodmi

a)   A[1, 3, -1], B[2, 3, 3], C[-2, -5, -7]

b)  A[-1, -1, 0], B[1, 1, 2], C[2, 2, 3]

c)   A[2, -3, 5], B[1, 0, -4], C[0, 2, 7]

d)  A[1, 1, 0], B[2, 2, 1], C[0, 0, 0]

 

2) Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá je určená bodom A[2, -3, 1] a priamkou,

     ktorá má parametrické vyjadrenie:  x = t

                                                           y = 2 + 3t

                                                           z = 1 - t, t Î R

 

3) Zistite, či body A, B, C ležia na jednej priamke, ak nie, napíšte všeobecnú rovnicu roviny «ABC.

a)   A[1, 2, -1], B[1, 0, 1], C[2,1, 3]

b)  A[1, 1, 2], B[2, 1, -1], C[4, 1, -7]

c)   A[1, 0, 3], B[0, 1, -2], C[2, -2, 13]

d)  A[1, 1 -3], B[0, 2, 2], C[1, 1, 0]

 

10.2.7 Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v danej rovine

 

1) Určte druhú súradnicu bodu C tak, aby ležal na priamke AB, pričom A[3, -1], B[1, 3].

a)   C[1, y]                        b)  C[0, y]                               c)  C[2,5; y]     

 

2) Zistite, či body A[-4, 7], B[-7, 8], C[11, 8]  ležia na priamke MN, ak M[2, 5], N[-1, 6].

 

3) Rozhodnite, či body A[1, 2], B[-3, -1], C[-1, 2], D[-17, -22]  ležia  na  priamke, ktorá je určená rovnicou  5x  - 3y - 6  =  0.

 

4) Určte zvyšné súradnice bodov A[6, y], B[-3, y], C[x, 0], D[x, 1/3] tak, ležali na priamke určenej všeobecnou  rovnicou 5x - 3y - 6 = 0.

 

5) Zistite, či priamka určená parametrickým vyjadrením

a)   x = 10 - 5t,  y = - 3 +1,5t; z = - 1 + 2t;  t Î R

b)  x = - 4 + t, y = 10 - 2,5t; z = - 6 + 1,5t;  t Î R

     prechádza začiatkom sústavy súradníc.

 

10.2.8 Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik

 

1) Zistite vzájomnú polohu priamok  p, q, a ak sú rôznobežné, určte aj ich priesečník:

a)   p :  x = 2 - 3t, y = 6 + t, z = - t,  t Î R

     q :  x = 1 - 2s, y = 3s, z  = 2 + s,  s Î R

b)  p :  x = 4 - 2t, y = 1 + 3t, z = - 5 - 3t,  t Î R

     q :  x = 7 - 7s, y = 2 + 5s, z = - 8 - 3s,  s Î R

 

2) Určte, ak existuje, priesečník priamky  p a úsečky AB.

a)   p :  x = 5 - 3t, y = - 6 + 2t,  t Î R                 A[3, -8], B[-9, 10]

b)  p :  x = 3 +  4t,  y = 6 - 6t,  t Î R                  A[5, -7], B[3, -4]

c)   p :  x = -7 + 4t, y = 8 - 5t,  t Î R                  A[4, -5], B[3, -3]

 

3) Zistite, či priamka daná parametrickým vyjadrením

       x = 6 + 2t, y = -11 - 5t, z = 9  + 3t,  t Î R,

pretína niektorú súradnicovú os.

 

4) Napíšte parametrické vyjadrenie všetkých ťažníc trojuholníka s vrcholmi  A[-2, -1], B[3, 0], C[2, 4]. Určte jeho ťažisko T ako priesečník dvoch ťažníc a overte, že ním prechádza aj tretia ťažnica.

 

5) Určte hodnotu parametra c Î R tak, aby priamky p a q boli to­tožné.

            p :  x = 3 - 2t,  y = 2 - 5t,   t Î R

            q :  5x - 2y + c = 0

 

10.2.9 Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich priesečník

 

1) Rozhodnite akú vzájomnú polohu má priamka b a rovina r, ak

a)   r : x - 5y + 4z - 6 = 0,  b : x = 2 - t, z = 3t, z = 3 + 4t,  t Î R

b)  r : 3x + y - 3z - 13 = 0,  b : x = 3 - 2t, y = 1 + 3t, z =  - 1- t,  t Î R

 

2) Dokážte, že priamka AB je rôznobežná s rovinou j. Vyjadrite aj ich priesečník.

a)    A[3, -2, -1], B[4, 1, 3], j : 2x - 3y + z - 2 = 0

b)   A[3, -1, 4], B[4, -1, 2], j : 2x - y + 3z - 7 = 0

 

3) Určte súradnice priesečníkov roviny x + 3y - 2z + 6 = 0 s osami sústavy súradníc.

 

4) Rozhodnite, akú vzájomnú polohu má rovina r a priamka p, ak poznáme ich parametrické vyjadrenie.

a) r : x = 1 - 2r + 5s, y = 2 + 3r, z = 4s,  r, s Î R

p : x = 4 - 3t, y = 5 - 3t, z = 4 - 4t,  t Î R

b) r : 2x + y - z + 1 = 0,  p : x = t, y = t, z = 1 + 3t,  t Î R

c) r : 2x - y + z - 2 = 0,  p : x = 1 - t, y = 2 + 3t, z = 1,  t Î R

 

5) Rovina má parametrické vyjadrenie:

a)   x = 3 - 3t - 3s, y = -7t, z = 5s,  t, sÎ R

b)  x = 2t + 2s, y = 6 + 6t,  z = 9s,  t, s Î R

Určte jej priesečníky s osami sústavy súradníc a graficky ju znázornite.

 

10.2.10 Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín

 

1) Ukážte, že roviny dané všeobecnými rovnicami

5x - 3y + 2z - 5 = 0,   2x - y - z - 1 = 0

sú navzájom rôznobežné a zapíšte parametrické vyjadrenie priesečnice týchto rovín.

 

2) Určte vzájomnú polohu rovín  r  a  s. V prípade, že sú rôznobežné určte ich priesečnicu.

a)   r:  2x - 5y + 4z - 10 = 0,    s:  4x - 10y + 8z - 10 = 0

b)  r:  2x - 5y + 4z - 10 = 0,    s:    x -     y -  z  -  2 = 0

c)   r:  2x - 5y + 4z - 10 = 0,    s:  4x - 10y - 2z - 10 = 0

 

3) Rozhodnite, akú vzájomnú polohu majú roviny r a s:

a)  r: x = 2 + 3u - v, y = 1 - 9u + v, z = -3 - 12u - 2v;  u, v Î R

 s: x = 1 - 2s + t, y = 2s - 3t, z = 2 - 4s - 4 t; s, t Î R

b)      r: x = 2 + u - v, y = 1 - 3u + v, z = -3 - 4u - 2v; u, v Î R

           s: x = 4 - s + t, y = -7 + s - 3t, z = -17 - 2s  - 4t; s, t Î R

    

4) Pre ktoré hodnoty parametrov m, n Î R sú roviny

            s:  mx - 4y + 3z - 1 = 0

            d: -2x + ny - 2z + 9 = 0

rovnobežné?

 

5) Určte vzájomnú polohu rovín a a  b.

            a:  x = 1 + t + s,  y = t - s,  z = s;  t, s Î R

            b:  x - y - 2z - 1 = 0

 

10.2.11 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou priamkou je rovnobežná

 

1) K danej priamke p a bodu A určte všeobecnú rovnicu priamky r, ktorá je rovnobežná s priamkou p a prechádza bodom A.

a)    p : 3x - y + 1 = 0, A[3, -1]

b)   p : y = 2x + 3, A[1, -2]

c)    p : x = 1 + 2t, y = 2 - t, t Î R, A[3, 4]

d)   p = MN, M[-3, 1], N[4, -1], A[1, 5]

 

2) Rozhodnite, či priamka daná všeobecnou rovnicou 7x + 14y + 8 = 0 je rovnobežná s priamkou AB:

a)   A[2, 2], B[8, -1]

b)  A[-2, -6], B[4, -9]

 

3) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky prechádzajúcej bodom C rovnobežne s priamkou AB:

a)   A[1, 1], B[2, -3], C[1, 5]

b)  A[-1, 1], B[2, -3], C[1, 5]

 

4) Určte parametrické rovnice priamky p, ktorá prechádza bodom M[2, -1, 3] a je rovnobežná s priamkou q : x = 1 - 2s, y = 3 + s, z = 3s, sÎ R.

 

5) Napíšte smernicový tvar priamky q, ktorá prechádza bodom A a je rovnobežná s priamkou p:

a)   A[3, 1], p : y = 3x - 1

b)  A[4, -1], p : y = -0,5x + 3

 

10.2.12 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú priamku je kolmá

 

1) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na vektor :

a)   A[5, 4], (3, 2)

b)  A[4, -3], (-2, 5)

 

2) Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na priamku BC, ak je:

a)   A[1, -4], B[3, -7], C[3, 2]

b)  A[0, 6], B[0, -2], C[-3, -5]

 

3) Napíšte rovnice priamok, na ktorých ležia výšky trojuholníka ABC:

a)   A[5, 2], B[1, 5], C[-2, 1]

b)  A[7, 8], B[5, -2], C[-3, -6]

 

4) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je kolmá na úsečku AB a prechádza jej stredom:

 A[1, 2, 3], B[3, -2, -5]

 

5) Napíšte smernicový tvar rovnice priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na priamku p .

a)   A[4,3],  p : y = 2x + 1

b)  A[6, 1],  p :

c)   A[2, -],  p :

d)  A[1; -2],  p : 4x - 3y + 15 = 0

 

10.2.13 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná

 

1) Určte rovnice všetkých priamok, ktoré prechádzajú bodom P a sú rovnobežné s rovinou b.

a)    P[2, 2, 1], b : 4x - 2y - 2z + 1 = 0

b)   P[3, 1, -12], b ={[2 + t, -t + 2s, 3 - 5t - 10s]; t, s Î R}

 

2) Určte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom P a je rovnobežná s rovinou b.

a)    P[2, 1, 3], b : 2x + y - z + 1 = 0

b)   P[8, -6, 0], b  : 3x - 5y - z - 2 = 0

 

3) Daná je priamka  p : x = 1 + t, y = 2 + at, z = 4, t Î R. Určte aÎ R tak, aby bola priamka p rovnobežná s rovinou d : x + ay + 5z - 1 = 0.

 

10.2.14 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú rovinu je kolmá

 

1) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A[2, 0, 3] na rovinu

r : x - 3y + 5z + 18 = 0.

 

2) Bodom A[2, -1, 2 ] veďte priamku kolmú na rovinu a a určte jej priesečník s touto rovinou.

a)   a : x - y + z + 13 = 0

b)  a : x - y = 0

c)   a : 6x + 17y - 23z + 51 = 0

 

3) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A[2, 0, 3] na rovinu

l : x - 3y + 5z + 18 = 0.

 

4) Daná je priamka p = {[t, 1 - t, 2t]; t Î R} a bod M[1, 0, 5]. Určte spoločný bod priamky p a roviny l, ktorá prechádza bodom M a je kolmá na priamku p.

 

10.2.15 Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná

 

1) Overte, že roviny  r  a  s  sú  rovnobežné :

      r : x = 2s, y = 2r,  z = 2 - r - s,       r, s Î R

s : x = 1 - u - 2v,  y = u,  z = v,     u, v Î R.

 

2) Napíšte  všeobecnú  rovnicu  roviny,  ktorá  je  rovnobežná  s rovinou a a  prechádza     bodom  A:

a)   A[-3, 1, 2], a :  2x - y + z - 1 = 0

b)  A[6, -9, 12], a :  x - 7y  + 3z - 19 = 0

c)   A[4, 1, 1], a : 2x - y - z + 4 = 0

 

3) Určte rovinu, v ktorej leží bod N[1; 2; 3] a ktorá je rovnobežná s rovinou určenou súradnicovými osami x a  z.

 

4) Rovina, ktorá prechádza bodom A[1; -2; 3] a je rovnobežná s rovinou 3x - 2y + z - 15 = 0 má rovnicu:

A   3x - 2y + z - 2 = 0

            B   x - 2y + 3z - 14 = 0

            C   2x - y - 8z + 18 = 0

            D   3x - 2y + z - 10 = 0

 

5) Napíšte rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou s : 2x - y + z - 1 = 0 a prechádza bodom  A[-3, 1, 2].

 

10.2.16 Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine)

 

1) Vypočítajte vzdialenosť bodu B[3, -7]  od priamky danej rovnicou 4x - 3y + 7 = 0.

 

2) Daný je trojuholník ABC,  A[1, 1],  B[3, 2],  C[2, 3].  Napíšte rovnicu ťažnice ta a vypočítajte vzdialenosť bodov B a C od ta.

 

3) Určte najkratšiu vzdialenosť priamok 3x - 4y - 8 = 0 a  3x - 4y + 7 = 0.

 

4) Určte polomer kružnice so stredom S[1; -2], ktorá sa dotýka priamky 6y - 8x - 30 = 0.

 

10.2.17 Vypočítať odchýlku dvoch priamok

 

1) Zistite odchýlku priamok  p : x - 3 = 0,  q : - y + 5  =  0.

 

2) Určte odchýlku priamok  a, b :

a)   a : x = - 2 + 3t, y = 1, z = 3 - t,  t Î R

           b : x = - 1 + 2s, y = 0, z = - 3 + s,  s Î R

b)  a : x = 2 + 3t, y = - 4t, z = 12t,  t Î R

     b = AB, A[0, -3, -1], B[1, -6, 0]

c)   a : x = 1 - t, y = 2 + 2t, z = t,  t Î R

     b je totožná s osou z.

 

3) Bodom M [1, 3] veďte priamku, ktorá zviera s priamkou p : 4y - 5 = 0 uhol

     veľkosti 45°.

 

4) Vypočítajte odchýlku priamok m a n.

            m: 3x + 5y + 1 = 0

            n:  2x - 8y + 3 = 0

 

10.2.18 Vypočítať odchýlku dvoch rovín

 

1) Vypočítajte odchýlku rovín a, b.

a)   a : x + y - 2z - 5 = 0, b : x - 2y - z + 3 = 0

b)  a : 3x - 4y + z - 6 = 0, b : 2x + y - 2z + 1 = 0

c)   a : 3x + 4y - 5z = 0, b : 4x - 5z + 3z + 2 = 0

 

2) Vypočítajte odchýlku dvoch rovín a, b, ak

a : 3x + 5 = 0, b : x = 3 + r - 2s, y = 2 - r + 2s , z = - 1 - 4r,  r, s Î R

 

3) Daný je kváder ABCDEFGH, D[0, 0, 0], A[4, 0, 0], C[0, 3, 0], H[0, 0, 5]. Určte odchýlku:  

a)   priamky DF od roviny BEG,

b)  rovín BEG a ABC.

 

10.2.19 Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny

 

1) Vypočítajte vzdialenosť bodu A od roviny r, ak

a)   A[3, 5, -6], r : 2x - 2y + z - 8 = 0

b)  A[-1, 3, 2], r : 3x - 4y + 5z + 15 = 0

c)   A[-7, 0, -1], r : 4x + 12y - 3z - 1 = 0.

 

2) Určte vzdialenosť bodu M od roviny r, ak M[-7, 3, 1] a rovina r je určená bodmi

A[1, 0, 1], B[2, 2, 1], C[0, 0, 2].

 

3) Dané sú body A[1, -2, -2], B[2, -1, -1], C[1, -1, -2], D[0, 2, -2].

a)   Vypočítajte vzdialenosť bodu D od roviny ABC.

b)  Nájdite obraz bodu D v osovej súmernosti podľa osi AB.

 

4) Určte súradnice päty P kolmice vedenej bodom A[2, 0, 3] kolmo na rovinu

r : x - 3y + 5z + 18 = 0. Vypočítajte vzdialenosť PA.

 

5) Napíšte rovnicu roviny, ktorá  je rovnobežná s rovinou x + y + z - 6 = 0 a od začiatku súradnicovej sústavy má vzdialenosť d = .

 

10.2.20 Vypočítať odchýlku priamky od roviny

 

1) Aký uhol zviera priamka

            p : x = 1 - 3t,  y = 2 - 4t,  z = 3 + t,   t Î R

a rovina

       f : 2x - y + 2z - 6 = 0?

 

2) Aký uhol zviera priamka

            p : x = 4 + t, y = 7 - 8t, z = - 11 + 3t,  t Î R

a rovina ABC

       A[2, 2, 1], B[0, 1, -1], C[1, 3, 4]?

 

3) Určte odchýlku priamky p a roviny b.

a)      p : x = t, y = t, z = 1 + 3t,  t Î R,                    b : 2x + y - z + 1 = 0

b)      p : x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 3 - t,  t Î R,        b : 3x - y + z + 1 = 0

c)      p : x = 2 - t, y = 2 + 3t, z = 1,  t Î R,              b : 2x - y - z - 2 = 0

d)      p = AB, kde A[8, -6, 2], B[12, -9, 1],            b : 3x - 5y - z - 2 = 0