10. ANALYTICKÁ GEOMETRIA

OBSAH

Karteziánska sústava súradníc na priamke, v rovine priestore. Bod a jeho súradnice. Stred úsečky a jeho sú­radnice, vzdialenosť dvoch bodov (dĺžka úsečky).

Definícia vektora, umiestnenie vektora (voľný a viaza­ný vektor). Grafická interpretácia sčítania a odčítania vektorov, nulový vektor. Násobenie vektora reálnym číslom, lineárna kombinácia vektorov. Kolineárnosť a komplanárnosť bodov vyjadrená pomocou vektorov.

Súradnice a veľkosť vektora, odchýlka vektorov a ich skalárny súčin.

Analytické vyjadrenie priamky v rovine i priestore (parametrické vyjadrenie, všeobecný a smernicový tvar), smerový a normálový vektor priamky, smernica a smerový uhol priamky. Vzájomná poloha bodu a priamky, vzájomná poloha dvoch priamok, odchýlka priamok, vzdialenosť bodu od priamky (v rovine).

Analytické vyjadrenie roviny (parametrické vyjadrenie, všeobecný tvar), normálový vektor roviny. Vzájomná poloha bodu a roviny, priamky a roviny, vzájomná poloha dvoch a troch rovín. Odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín, vzdialenosť bodu od roviny. Kolmica na rovinu.

Analytické vyjadrenie úsečky, polpriamky, polroviny a polpriestoru.

Rovnica kružnice (stredový i posunutý tvar). Vzájomná poloha bodu a kružnice, vzájomná poloha priamky a kružnice. Rovnica dotyčnice v ľubovoľnom bode kružnice, rovnica do­tyčnice prechádzajúcej bodom mimo kružnice.

Riešenie geometrických úloh metódami analytickej geometrie, voľba vhodnej sústavy súradníc, transformácia geometrickej úlohy na aritmetický (algebrický) problém a spätná transformácia výsledkov do geometrie.

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

10.1. Vektorová algebra

10.1. 1  Vysvetliť, opísať a na konkrétnom príklade demonš­trovať zavedenie súradnicovej sústavy na priamke, v rovine a priestore

10.1. 2  Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov vektor a umiestnenie vektora

10.1. 3  Interpretovať geometricky súčet a rozdiel vektorov, súčin reálneho čísla a vektora, lineárnu kombináciu vektorov

10.1. 4  Vypočítať súradnice vektora určeného dvojicou bodov

10.1. 5 Vypočítať súradnice súčtu a rozdielu vektorov, sú­činu vektora a reálneho čísla, lineárnej kombinácie vektorov

10.1. 6  Definovať pojem skalárny súčin vektorov

10.1. 7  Určiť skalárny súčin vektorov

10.1. 8  Určiť odchýlku dvoch vektorov

10.1. 9  Určiť vektor rovnobežný s daným vektorom

10.1.10 Určiť vektor kolmý na daný vektor

 

 

10. Analytická geometria

10.1.1 Vysvetliť, opísať a na konkrétnom príklade demonštrovať zavedenie súradnicovej sústavy na priamke, v rovine a priestore.

 

1) Na priamke p určte body, ktorých súradnice vyhovujú rovnici

a)   |1 - x| = 2

b)  |2 + x| = 2

 

2) Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC. Dané sú body A[1, 1], B[5, 1]. Určte súradnice bodu C výpočtom i meraním.

 

3) Vo voľnom rovnobežnom premietaní zakreslite sústavu súradníc O,x,y,z. Do nej zakreslite kváder ABCDEFGH (A[-1, 3, 1], B[4, 3, 1], C[?, -2, 1] a E[?, ?, 5]). Určte súradnice všetkých vrcholov kvádra.

 

4) V karteziánskej sústave súradníc O,x,y,z zakreslite pravidelný štvorboký ihlan ABCDV

(A[0, 4, 0], B[4, 4, 0], D[0, 0, 0], v = 5). Zapíšte súradnice hlavného vrcholu V. Určte súradnice vrcholu ihlana, ktorý je obrazom daného ihlana v súmernosti podľa roviny xz.

 

10.1.2 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov vektor a umiestnenie vektora

 

1) Zobrazte pravidelný šesťuholník ABCDEF a jeho stred označte S. Pomocou bodov A, B, C, D, E, F, S zapíšte všetky možné umiestnenia vektorov:

a)                                                                

 

2) Daný je rovnobežník ABCD a jeho stredná priečka KL (KL je rovnobežná s AB, K Î AD,

L Î BC). Dokážte, že orientované úsečky  sú umiestnením toho istého vektora.

 

10.1.3 Interpretovať geometricky súčet a rozdiel vektorov, súčin reálneho čísla a vektora, lineárnu kombináciu vektorov

 

1) Narysujte pravidelný šesťuholník ABCDEF so stredom S. Zvoľte

 

Pomocou vektorov  zapíšte vektory

 

2) Daný je štvorsten ABCD a T1, T2 sú postupne ťažiská jeho stien ABC, CBD. Vyjadrite vektor pomocou vektorov .

 

3) Daná je kocka ABCDEFGH a . Nájdite na kocke, pomocou bodov A, B, C, D, E, F, G, H nasledujúce vektory:

a)                                                   b)

c)                                             d)

e)

 

4) Daný je kváder ABCDEFGH. Určte súčet vektorov

 

5) Daná je kocka ABCDEFGH. Nech S je stred jej steny ABHE. Vyjadrite vektor  pomocou vektorov , ak .

 

10.1.4 Vypočítať súradnice vektora určeného dvojicou bodov

 

1) V rovine sú dané body A, B. Vypočítajte súradnice vektora , ak je dané:

a)    A[3, 2], B[-2, 4]

b)   A[-1, -6], B[2, -5]

c)    A [3/2, -5/6], B[-1/2, -1/3]

d)   A[-2, -3, -2], B[1, -2, -4]

e)    A[4/5, -5/6, -3/8], B[9/10, -2/3, -1/6]

 

2) Zistite, či orientovaná úsečka je umiestnením vektora

a)    A[-8, -2], B[-3, 1], (5, -3)

b)   A[-6, 5], B[-1, 2], (5, -3)

c)    A[-3, -2, -2], B[0, -1, 2], (3, 1, -4)

d)   A[-4, -1, 2], B[-1, 0, -2], (3, 1, -4)

 

3) Orientovaná úsečka je umiestnením vektora . Určte súradnice koncového  bodu B, ak platí:

a) A[-7, -4], (-3, -5)

b) A[1/2, -1/3, 1/4], (3/2, 2/3, -3/4)

 

4) Orientovaná úsečka je umiestnením vektora . Určte súradnice začiatočného bodu A, ak je dané:

a)    B[-7, 9], (3, -4)

b)   B[5, -2, 1], (7, -3, -1)

c)    B[2/5, 9/10, -3/2], (0,4; -1,1; -1)

 

10.1.5 Vypočítať súradnice súčtu a rozdielu vektorov, súčinu vekto­ra a reálneho čísla, lineárnej kombinácie vektorov

 

1) Vypočítajte súčty a rozdiely vektorov , ak je dané

a)   (-1/2, 3/5), (-3/2, 7/10)

b)  (2/3, -1, -3/2), (1/3, 1/2, 3/4 )

 

2) Určte čísla a, b tak, aby platilo

a)   3(1 + a) + 2(1, 6b) = (8, 3)

b)  2 (-2, -2) - b(-4, 1) = (0, -3)

c)   (3 + a).(3, 1, -2) - 2(1, 1 + b, 1) = (13, -1, -12)

 

3) Zistite, či sú vektory ,  rovnobežné

a)   (1, 3), (3, 1)

b)  (1/2, 3/2), (-0,4; -1; 2)

c)   (1, 2, -3), (-1, 2, 3)

d)  (1, 1/2, -2 ), (-2/3, -1/3, 4/3)

 

4) Dané sú body K[3, 2, -4], L[3, 6, -5], M[-4, -1, 0]. Vypočítajte súradnice bodu N, ak platí: L - K = ,  = -2..

 

5) Pre ktoré hodnoty parametrov a, b Î R ležia body A[5; -2; a], B[1; b; 0], C[-3; 0; 1] na jednej priamke?

 

10.1.6 Určiť veľkosť vektora

 

1) Vypočítajte veľkosť vektora , ak

a)   A[4, 2], B[-2, 5]

b)  A[-3, -4], B[, -3]

c)   A[2, 1], B[2, -4]

 

2) Dve sily sú určené orientovanými úsečkami , pričom O[0, 0], A[0, -6], B[5, -6]. Vypočítajte číselnú hodnotu veľkosti:

a) súčtu týchto síl

b) rozdielu týchto síl

 

3) Určte vektor  tak, aby mal danú veľkosť:

a) (-2, v2), =

b) (1, v2, v3), =

 

4) Určte veľkosť vektorov a , ak

a) A[0, 1], B[6, 3], C[4,5]

b) A[1, 2, 3], B[3, 3, 6], C[0, 1, 2]

 

5) Dané sú vrcholy trojuholníka ABC. Určte jeho obvod.

a) A[1, 0], B[2, 0], C[2, ]

b) A[2, -1, 3], B[1, 1, 1], C[0, 0, 5]

c) A[-2, 2], B[-1, -3], C[4, 0]

d) A[2, -1, 3], B[2, 0, 1], C[-3, 1, 5]

 

10.1.7 Definovať pojem skalárny súčin, určiť skalárny súčin

 

1) Vypočítajte skalárny súčin vektorov , , ak

a) (2, 1), (1, 3)                         b) (-1, 2, 1), (4, 1, 2)

c) (2, -1), (3, 6)                       d) (2, 1, 4), (1, -3, -1)

e) (3, -1), (-6, 2)                    f) (2, 1, 4), (4, 2, 8)

 

2) Určte chýbajúcu súradnicu vektora  tak, aby . = 0.

a) (2, u2), (1, 2)                        b) (2, u2, -1), (1, -5, -3)

 

3) Dané sú body A, B. Nájdite bod M na osi x tak, aby = 0.

a)   A[0, 1], B[5, 6]                         b) A[0, 1, 3], B[-5, 3, -3]

 

4) Určte vektor  tak, aby .  = . = 0

a) (2, -1, 3), (3, 2, -2)

b) (-4, -6, 0), (2, -7, 0)

c) (1, -2, 3), (-2, 4, -6)

 

5) Dané sú body A[3, 2, 1], B[1, -3, 0], C[0, 2, 5]. Určte skalárny súčin . vektorov , , ak .

 

10.1.8 Určiť odchýlku dvoch vektorov

 

1) Vypočítajte veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka ABC, ak:

a ) A[0, 1], B [-1, 2], C[1, 3]

b)  A[1, 1, 1], B[-1, 0, 2], C[3,1,2]

 

2) Vypočítajte odchýlku priamky AB od osí x, y, z, ak A[-5, -3, 8], B[7, 6, -12].

 

10.1.9 Určiť vektor rovnobežný s daným vektorom

 

1) Nájdite vektor  rovnobežný s vektorom (2, 1, -1), pre ktorý platí: . = 3.

 

2) Určte vektor , ktorého veľkosť je 50, a ktorý je rovnobežný s vektorom (6; -8; 7,5).