5. FUNKCIE

OBSAH

Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia.

Lineárna funkcia, obor definície a obor hodnôt, graf, nulový bod. Monotónnosť a ohraničenosť lineárnej funkcie, konštantná funkcia. Funkcia y = |x|, jej graf a základné vlastnosti. Priama úmernosť.

Kvadratická funkcia a jej graf (parabola, vrchol a os paraboly), nulové body kvadratickej funkcie, monotónnosť a ohraničenosť. Grafy kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou. Súvis kvadratickej rovnice a nerovnice s grafom príslušnej kvadratickej funkcie.

Definícia mocniny s prirodzeným (celočíselným) expo­nentom, grafy mocninových funkcií. Prostá a inverzná funkcia, definícia odmocniny. Nepriama úmernosť, lineárna lo­mená funkcia, vzťahy medzi grafmi funkcií   a  . Graf ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie (aj s absolútnou hodnotou), určenie asymptot (intuitívne pojem limity v nevlastnom bode).

Goniometrické funkcie ostrého uhla, goniometrické funkcie ľubovoľného uhla (na jednotkovej kružnici). Grafy a základné vlastnosti goniometrických funkcií, ich periodičnosť. Súmernosti na jednotkovej kružnici ako zdroj objavovania ďalších vlastností týchto funkcií, súčtové vzorce, vzorce pre polovičný a dvojnásobný uhol. Grafy funkcií typu y = a . f(bx + c) + d, grafy funkcií s absolútnymi hodnotami. Inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám (intuitívne - hľadanie veľkosti uhla k danej hodnote funkcie).

Mocniny s reálnym exponentom, definícia exponenciálnej funkcie, jej základné vlastnosti. Vplyv základu na priebeh exponenciálnej funkcie, graf exponenciálnej funkcie, fun­kcia y = ex. Logaritmická funkcia ako funkcia inverzná k exponenciálnej, jej vlastnosti. Dekadický a prirodzený logaritmus, základné vlastnosti logaritmov. Používanie dekadických logaritmov pri zjednodušovaní numerických výpoč­tov.

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

5.1 Všeobecné vedomosti

5.1.1 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov funkcia, predpis funkcie, obor definície a obor hodnôt, argument, funkčná hodnota a graf funkcie

5.1.2 Rozoznať v slovnom texte funkčnú závislosť a matema­ticky ju sformulovať

5.1.3 Určiť (aspoň z grafu funkcie) vlastnosti funkcie (mo­notónnosť, lokálne extrémy, párnosť a nepárnosť, o­hraničenosť, periodičnosť)

5.1.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch princíp vytvorenia inverznej funkcie k prostej funkcii a aplikovať ho na jednoduché funkcie (lineárne, kvadratické, exponenciálne)

5.1.5 Načrtnúť, na základe poznania grafu funkcie y = f(x), grafy funkcií y = – f(x), y = f(x) + k,

 y = |f(x)|, y = f(x + q), y = f(x + q) + k

 

 

 

 

5. Funkcie

5.1.1 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov funkcia, predpis funkcie, obor definície a obor hodnôt, argument, funkčná hodnota a graf funkcie

 

1)   Daná je množina M = {0, 1, 2, ..., 10}. Rozhodnite, či nasledujúce predpisy definujú funkciu f :

a)  f priraďuje prvku z m  jeho tretiu mocninu,

b)  f priraďuje prvku z m  jeho druhú odmocninu,

c)  f priraďuje prvku z m jeho prevrátenú hodnotu.

Pri funkciách určte aj obor definície a obor hodnôt.

 

2) Určte definičný obor funkcie:

a) f:  y = 2x + 3                                                                  b)

c)                                                               d)

 

e)                                                                  f)

 

3) Nech f je funkcia definovaná na množine celých kladných čísel tak, že každému xZ+ priradí funkčnú hodnotu podľa predpisu f : .

a)  Vypočítajte f(4),  a  f(301).

b)   Určte hodnoty premennej x, pre ktoré funkcia nadobúda hodnoty f(x) = 14,  f(x) = 15,  f(x) = -214,  f(x) = 214.

c)    Načrtnite graf funkcie f.

d)  Rozhodnite, či je f prostá funkcia.

e)    Existujú nejaké celé kladné čísla, ktoré nepatria do oboru hodnôt funkcie f ? Ak áno, uveďte príklad.

f)     Určte obor hodnôt funkcie f .

g)    Načrtnite graf funkcie f.

 

4) Zistite, či sa funkcie  a   rovnajú.

 

 

5) Ak vyhodíme kameň kolmo hore rýchlosťou v m.s-1, jeho maximálna výška bude približne vyjadrená vzťahom  h =  .

a)  Vypočítajte polovicu maximálnej výšky, ktorú kameň dosiahne, ak bol vyhodený postupne rýchlosťami 10 m.s-1, 20 m.s-1, 30 m.s-1.

b)  Akou rýchlosťou má byť kameň vrhnutý kolmo hore ak má dosiahnúť vzdialenosť od bodu vrhu aspoň 125 m?

 

6) Rozhodnite, ktorý z grafov, znázornených na nasledujúcom obrázku, je grafom funkcie. Pri funkciách určte aj obor definície a obor hodnôt.

5.1.2 Rozoznať v slovnom texte funkčnú závislosť a matematicky ju sformulovať

 

1) Akou funkciou času je dráha telesa. ktoré sa pohybuje rovnomerne tak, že za jednu sekundu prejde dráhu

a) 10 cm                                         b) 1 m                                     c) a km           

 

2) Vyjadrite závislosť veľkosti uhla, o ktorý sa otočí

a) veľká                                         b) malá

hodinová ručička, od času t.

 

3) Do gule s polomerom r je vpísaný rotačný kužeľ. Vyjadrite jeho plášť Q ako funkciu jeho strany s. V ktorom intervale premennej s je Q definované?

 

4) Na prevod teploty tC z Celziovej stupnice na teplotu vo Fahrenheitovej stupnici platí vzťah . Akou funkciou teploty v Celziovej stupnici je teplota odmeraná vo Fahrenheitovej stupnici?

 

5) Rozhodnite, či je daná závislosť funkciou:

a)      Závislosť množstva vody v nádrži od času, ak do nádrže pritečie každú hodinu 10 hektolitrov vody.

b)      Závislosť veku človeka od jeho telesnej výšky.

 

5.1.3 Určiť (aspoň z grafu funkcie) vlastnosti funkcie (monotónnosť, lokálne extrémy, párnosť a nepárnosť, ohraničenosť, periodičnosť)

 

1) Určte intervaly monotónnosti a extrémy funkcií znázornených na obrázku 1.

(os x je asymptota)
 

Obr. 1

 

2) Rozhodnite o párnosti, resp. nepárnosti nasledujúcich funkcií

a)                                                                           b)

c)

 

3) Rozhodnite, ktoré z funkcií znázornených na obrázkoch 1 a 2 sú párne alebo nepárne.

Obr. 2

 

4) Čo môžete povedať o hodnote f(0), ak je známe, že f je funkcia

a) párna                                                                             b) nepárna?

 

5) Čo musí platiť o koeficientoch  a, b, ak je známe, že funkcia  f(x) = ax + b je

a) párna                                                                             b) nepárna?

 

6) Rozhodnite, či sú nasledujúce funkcie ohraničené:

a)                                                                     b)

 

7) Načrtnite graf funkcie tak, aby táto funkcia bola periodická. Určte aj jej periódu.

 

8) Doplňte grafy na obrázku 3 tak, aby znázorňovali

a) párne funkcie                                                                 b) nepárne funkcie

Obr. 3

 

9) Na obrázku 4 je znázornený graf funkcie f.

a)      Určte jej vlastnosti (obor definície, obor hodnôt, intervaly monotónnosti, …).

b)      Upravte časť grafu tak, aby nová funkcie bola na intervale <-5; 5> nepárna.

c)      Upravte časť grafu tak, aby nová funkcie bola na intervale <-5; 5> párna.

Obr. 4

 

5.1.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch princíp vytvorenia inverznej funkcie k prostej funkcii a aplikovať ho na jednoduché funkcie (lineárne, kvadratické, exponenciálne)

 

1) Určte inverznú funkciu k funkcii  y = x2 - 1 .

 

2) Načrtnite graf inverznej funkcie k funkcii f .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


3) Určte inverznú funkciu (ak existuje) k funkcii f, nájdite definičný obor i obor hodnôt danej aj inverznej funkcie:

a)                                          b)

 

4) K danej funkcii f určte inverznú funkciu. Načrtnite aj grafy oboch funkcií v tej istej sústave súradníc.

a)                                            b)

c)

 

5.1.5 Načrtnúť, na základe poznania grafu funkcie y = f(x), grafy funkcií y = -f(x), y = f(x) + k,  y = │f(x)│,  y = f(x + q),  y = f(x + q) + k

 

1) Daná je funkcia f(x) = y = x2 . Načrtnite jej graf i graf funkcie:

a)  y = - f(x)                                                                      b) y = f(x) + 3

c)  y =                                                                     d) y = f(x - 3)

e)      y = f(x - 3) + 2

 

2) Načrtnite graf funkcie f, ktorej  a . Potom načrtnite aj graf funkcie:

a)                   y = - f(x)                                                             b) y = f(x) + 3

c)  y =                                                                     d) y = f(x - 3)

e)      y = f(x - 3) + 2