4.5 Goniometrické rovnice a nerovnice

4.5.1 Riešiť základné goniometrické rovnice v R

4.5.2 Vysvetliť postup pri riešení zložitejších goniometrických rovníc, pri riešení aplikovať goniometrické vzorce a vlastnosti goniometrických funkcií

4.5.3 S použitím jednotkovej kružnice alebo grafu funkcie vyriešiť jednoduché goniometrické nerovnice

4.5.1. Riešiť základné goniometrické rovnice v R

1) Spamäti určte v oblúkovej miere všetky x vyhovujúce rovnici:

a) sin x = a b) cos x = a

ak

2) Spamäti určte v oblúkovej miere všetky x vyhovujúce rovnici:

a) tg x = a b) cotg x = a

ak

4) Určte všetky , ktoré vyhovujú rovnici:

a) sin x = 0,8361 b) cos x = - 0,5656

c) tg x = 1,256 d) cotg x = -1,256

5) Riešte v R rovnicu:

a) .tg x = - 3 b) 2 sin

c) cos 2x = d) sin

e) tg f) sin (x + = 1

g) cotg (2x - = -1 h) tg (x +

i) cos (3x - = 0,5

4.5.2 Vysvetliť postup pri riešení zložitejších goniometrických rovníc, pri riešení aplikovať goniometrické vzorce a vlastnosti goniometrických funkcií

1) Riešte v R:

a) 2.cotg (2x + ) = - 2 b)

c) cotg² x = cotg x d) 3.tg² x = 1

e) 4.cos² x - 4.cos x - 3 = 0 f) (2.cos x + 1).cos x = 1

g) sin x + = 2

2) Riešte v R :

a) sin 2x + cos x = 0 b) sin x - cos 2x = 0

c) sin 2x = (cos x - sin x)² d) 2.cos² x = cotg x

e) sin² x + sin² 2x = 1

3) Riešte v R:

a) 3.sin² x = cos² x b) 3.sin² x + cos x + cos² x = 0

c) tg x - 3 cotg x = 0 d) tg x - cotg x - = 0

e) sin⁴ x - cos⁴ x = f) + cotg x - 1 = 0

g) (sin x + cos x)² + (sin x - cos x)² = 1- cos 2x

4) Určte, pre ktoré reálne x dané funkcie nadobúdajú hodnoty rovné nule:

a) f : y = tg² x + 2 tg x - b) f : y = tg x - cotg x -

c) f : y = 2.tg x -

4.5.3 S použitím jednotkovej kružnice alebo grafu funkcie vyriešiť jednoduché goniometrické nerovnice

1) Použitím jednotkovej kružnice určte všetky , ktoré vyhovujú nerovnici:

a) sin x b) cos x

c) tg x d) cotg x <

2) Riešte v R rovnice a nerovnice:

a) tg x = 1 b) |tg x| = 1

c) tg x d) tg x > 1

e) |tg x| < 1 f) |tg x|

3) Využite jednotkovú kružnicu a vyriešte v R nerovnicu sin x > cos x.

4) Určte všetky , pre ktoré má rovnica |cos x| = b s neznámou

a) prázdnu množinu všetkých riešení;

b) aspoň šesť rôznych koreňov;

c) aspoň jeden, no najviac päť rôznych koreňov.

5) Riešte v R nerovnice:

a) sin b) tg 2x > - 1

c) cos d) cotg 3x <