11. KOMBINATORIKA

OBSAH

Kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu, permutácie (poradia), variácie, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník. Základné vlastnosti kombinačných čísel a Pascalovho trojuholníka.

Binomická veta. Variácie s opakovaním.

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

11.1. Riešiť jednoduché kombinatorické úlohy systematickým vypísaním všetkých možností s využitím vhodného organizačného princípu

11.2. Riešiť zložitejšie kombinatorické úlohy rozložením na jednoduchšie podúlohy využitím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu, či pomocou základných vzorcov pre počet variácií, permutácií a kombinácií

11.3. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov permutácie, variácie (aj s opakovaním) a kombinácie

11.4. Vysvetliť spôsob vyjadrenia počtu permutácií, variácii a kombinácií pomocou faktoriálov

11.5. Vyčísliť hodnotu konkrétneho kombinačného čísla buď priamo z definície alebo pomocou vlastností Pascalovho trojuholníka

11.6. Sformulovať a aktívne ovládať binomickú vetu

 

 

 

11. Kombinatorika

11.1 Riešiť jednoduché kombinatorické úlohy systematickým vypísaním všetkých možností s využitím vhodného organizačného princípu

 

1) Napíšte všetky prirodzené čísla väčšie než 23 a menšie než 123, ktoré sú vytvorené z číslic 0, 1, 2, 3, 5, 9. Číslice sa však v žiadnom čísle nesmú opakovať.

2) U Našinca predávali päť druhov zmrzliny: citrónovú, jahodovú, malinovú, orieškovú a pistáciovú. Cestou z výletu sa U Našinca zastavila trieda s posilneným vyučovaním matematiky. Časť žiakov si dala trojitú zmrzlinu, časť dvojitú a zvyšní žiaci si kúpili iba jeden kopček zmrzliny. Dohodli sa však, že žiadna dvojica nebude mať rovnakú zmrzlinu (rozlišujúc počet kopčekov zmrzliny a druh objednanej zmrzliny). Koľko žiakov z triedy bolo na výlete, ak vieme, že žiaci svojimi objednávkami vyčerpali všetky možnosti dennej ponuky zmrzliny U Našinca? Vypíšte všetky objednané zmrzliny.

3) Koľko rôznych súčtov s tromi sčítancami možno utvoriť z čísel 2, 3, 7, 23, ak sa každý sčítanec môže až trikrát opakovať?

4) Koľko uhlopriečok má vypuklý (konvexný) desaťuholník?

 

5) Koľko rôznych prirodzených šesťciferných čísel možno zostaviť z číslic 4, 5, ak sa má v každom z nich vyskytovať cifra 4 práve štyrikrát?

 

6) Na policu chceme uložiť vedľa seba do radu 6 kníh, z ktorých 3 sú (rôzne) encyklopédie. Koľkými rôznymi spôsobmi to môžeme urobiť, ak chceme, aby všetky tri encyklopédie boli vedľa seba?

 

11.2 Riešiť zložitejšie kombinatorické úlohy rozložením na jednoduchšie podúlohy využitím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu, či pomocou základných vzorcov pre počet variácií, permutácií a kombinácií

 

1) Automatická ústredňa SAV má teoreticky k dispozícii telefónne čísla začínajúce trojcifernou predvoľbou (prvá číslica nesmie byť nula), za ktorou nasledujú štvorciferné klapky. Koľko telefónnych aparátov so samostatným číslom sa teoreticky dá napojiť na takúto ústredňu?

 

2) Koľkými spôsobmi možno z 12 kandidátov vybrať štvorčlenné mužstvo?

 

3) Koľko rôznych 5-ciferných čísel možno vytvoriť v sedmičkovej pozičnej číselnej sústave?

 

4) V tajnej abecede trojprstých sú tri znaky: O, X, ∆. Koľko rôznych päťhláskových slov môžu napísať?

 

5) V istej krajine pozostávajú poznávacie značky áut z kombinácie troch písmen a troch číslic (napr. CLV 186, XFX 997). Používa sa 26 písmen a číslice 1 až 9 (0 sa nepoužíva). Koľko rôznych poznávacích značiek môžu v tejto krajine vydať?

6) Určte postup, ktorým zistíme, koľkými rôznymi spôsobmi môžeme rozdeliť 8 chlapcov a 4 dievčatá na dve šesťčlenné volejbalové družstvá tak, aby v každom družstve bolo aspoň jedno dievča.

 

7) Prirodzené číslo nazývame pozoruhodným, ak má súčasne týchto päť vlastností:

V1: je päťciferné,

V2: je väčšie ako 20 000,

V3: je deliteľné piatimi,

V4: neobsahuje číslice 0, 4, 7, 9,

V5: všetky jeho číslice sú navzájom rôzne.

Koľko je všetkých pozoruhodných prirodzených čísel?

 

8) Písomná skúška pozostáva z desiatich úloh, pričom každý študent má riešiť iba päť úloh podľa vlastného výberu. Vybrať si však musí dve úlohy z úloh 1.- 4. a tri úlohy spomedzi úloh 5.-10. Na poradí, v ktorom úlohy rieši, nezáleží. Koľkými rôznymi spôsobmi si študent môže vybrať úlohy, ktoré bude riešiť?

 

9) Koľko existuje štvorciferných prirodzených čísel, ktoré majú všetky cifry navzájom rôzne?

 

11.3 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov permutácie, variácie (aj s opakovaním) a kombinácie

 

1) V každom kole SAZKY sa tipujú výsledky 13 zápasov, pričom pri  každom zápase možno vsadiť na výhru domácich, výhru hostí alebo na nerozhodný výsledok. Koľkými rôznymi spôsobmi možno pri  takomto tipovaní vyplniť tiket?

 

2) S pripomienkami k návrhu novely zákona chce v parlamente vystúpiť šesť poslancov - A, B, C, D, E a F. Určte počet:

a)      všetkých možných poradí ich vystúpení,

b)      všetkých poradí, v ktorých vystupuje A po E,

c)      všetkých poradí, v ktorých vystupuje A ihneď po E.

 

3) Určte, koľkými spôsobmi sa dá vybrať na šachovnici 8 x 8

a)      trojica políčok,

b)      trojica políčok neležiacich v jednom stĺpci,

c)      trojica políčok neležiacich v jednom stĺpci ani v jednom riadku,

d)      trojica políčok, ktoré nie sú rovnakej farby.

 

4) V rovine je n bodov, z ktorých p leží na jednej priamke. Okrem nich už žiadne tri body na jednej priamke neležia.Určte, koľko

a)      priamok,

b)      trojuholníkov,

c)      kružníc,

je určených týmito bodmi.

5) Apolloniovou úlohou nazývame úlohu zostrojiť kružnicu, ktorá má tri z nasledujúcich vlastností: prechádza daným bodom, dotýka sa danej priamky, dotýka sa danej kružnice. (Ak označíme tieto vlastnosti písmenami B, p, k, môžeme každú Apolloniovu úlohu označiť trojicou vytvorenou z týchto písmen. Napríklad úloha Bpp označuje úlohu zostrojiť kružnicu prechádzajúcu daným bodom a dotýkajúcu sa dvoch daných priamok.) Určte počet všetkých Apollóniovych úloh.

 

6) Koľko rôznych slov sa dá utvoriť zo slova EKONOMIKA zmenou poradia písmen? (Slová nemusia mať význam. Počítajte aj slovo EKONOMIKA.)

 

7) Vo vrecku je 6 rovnakých lístkov označených číslami 1 až 6. Koľkými rôznymi spôsobmi môžeme postupne (s prihliadnutím na poradie) vybrať 3 z nich, ak sa vybrané lístky do vrecka vracajú?

 

11.4 Vysvetliť spôsob vyjadrenia počtu permutácií, variácii a kombinácií pomocou faktoriálov

 

1) Vyjadrite číslo Vk(n) = n.(n - 1).(n - 2). ... .(n - k + 1)  pomocou faktoriálov.

 

2) Vyjadrite číslo Ck(n) pomocou faktoriálov.

 

3) Porovnajte čísla a, b, ak a = 50! + 53!, b = 51! + 52!

 

4) Riešte rovnicu  kde n Î N.

 

5) Upravte výraz 

 

6) Riešte nerovnicu  < 0

 

11.5 Vyčísliť hodnotu konkrétneho kombinačného čísla buď priamo z definície alebo pomocou vlastností Pascalovho trojuholníka

 

 

1) Ak > tak

 

2) Zapíšte jedným kombinačným číslom:

a)                    b)                     c)

d)             e)                  f)

 

3) Dokážte, že pre všetky  platí rovnosť

 

4) Riešte nerovnicu  < 0

 

5) Napíšte piaty riadok Pascalovho trojuholníka.

 

11.6. Sformulovať a aktívne ovládať binomickú vetu

 

1) Umocnite výraz:

a)  (1 + x)7                                     b)  (a - 2)5                              c)  (x + y)4      

d)  (a - b)7                                     e)  (2h - k)5                            f)  (2 + p2)6

g)

 

 

2) Nájdite dané členy v nasledujúcich rozvojoch:

a)  (1 + x)10, 5-ty člen,                                                       b) (2a + b)12, 10-ty člen,

c) , 10-ty člen,                                            d) , 7-my člen.

 

3) Určte absolútny člen (čiže člen neobsahujúci premennú x) binomického rozvoja dvojčlena:

a)                                                                    b) .

 

4) Aký je koeficient pri  v binomickom rozvoji dvojčlena  ?

 

5) Pre aké x v rozvoji výrazu  sa tretí člen rovná -42?