8.3 Konštrukčné úlohy

8.3.  1 Zostrojiť os úsečky, uhla a pásu, os uhlov dvoch rôznobežiek

8.3.  2 Zostrojiť množinu všetkých bodov rovnako vzdialených od danej priamky

8.3. 3 Zostrojiť množinu všetkých stredov kružníc s daným polomerom, ktoré sa dotýkajú danej kružnice

8.3.  4 Zostrojiť úsečku s dĺžkou vyjadrenou druhou odmocni­nou prirodzeného čísla

8.3.  5 Zostrojiť dotyčnicu kružnice v jej bode i dotyčnicu prechádza­júcu daným bodom

8.3.  6 Zostrojiť množinu vrcholov všetkých uhlov s rovnakou veľkosťou, ktorých ramená prechádzajú danými bodmi

8.3.  7 Aplikovať v konštrukčných úlohách vedomosti o trojuholníku, jeho ťažniciach, ťažisku, výškach, kružnici vpísanej a opísanej

8.3.  8 Zostrojiť v danom zhodnom zobrazení alebo v rovnoľahlosti obraz bodu, priamky, mnohouholníka a kružnice

8.3.  9 Aplikovať v konštrukčných úlohách vedomosti o zhodných a podobných zobrazeniach

8.3.10 Riešiť jednoduché konštrukčné úlohy, zostrojiť trojuholník, rovnobežník, lichobežník a kružnicu použitím množín bodov danej vlastnosti

 

 

 

8.3.1 Zostrojiť os úsečky, uhla a pásu, os uhlov dvoch rôznobežiek

 

1) Daná je úsečka AB. Zostrojte množinu všetkých bodov, ktoré majú od bodov A, B rovnakú vzdialenosť.

 

2) Daná je úsečka AB. Zostrojte množinu stredov všetkých kružníc, ktoré prechádzajú bodmi A,B.

 

3) Zostrojte kružnicu k(S, r), ak sú dané tri jej rôzne body A, B, C.

 

4) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané: a + b, c ,a (hodnoty si ľubovoľne zvoľte).

 

8.3.2 Zostrojiť množinu všetkých bodov rovnako vzdialených od danej priamky

 

1) Daná je priamka a. Zostrojte množinu všetkých bodov, ktoré majú od priamky a vzdialenosť v > 0.

 

2) Daná je priamka a. Zostrojte množinu stredov všetkých kružníc, ktoré sa dotýkajú priamky a, a majú polomer v.

 

3) Zostrojte trojuholník ABC (hodnoty si voľte ľubovoľne), ak je dané:

a) a, va, g

b) v, trojuholník je rovnostranný

c) a, ta, va

 

4) Zostrojte kosodĺžnik ADCD, ak je dané: |AB| = a, va, vb, kde va je výška na stranu AB, vb je výška na stranu CD.

 

5) V rovine f sú dané priamky a, b, c (a || b, a Ç c = {P}). Zostrojte množiny:

a)    A =                                                b)  B =

 

8.3.3 Zostrojiť množinu všetkých stredov kružníc s daným polomerom, ktoré sa dotýkajú danej kružnice

 

1) Daná je kružnica k(S, r). Zostrojte množinu všetkých stredov kružníc, ktoré majú daný polomer w a dotýkajú sa kružnice k.

a) w < r                                                     b) w > r

 

2) Daný je trojuholník ABC (a = 6, b = 7, c = 8). Zostrojte kružnice so stredom vo vrcholoch trojuholníka ABC, ktoré sa navzájom dotýkajú.

 

8.3.4 Zostrojiť úsečku s dĺžkou vyjadrenou druhou odmocninou prirodzeného čísla

 

1) Zostrojte úsečky dĺžky

 

2) Zostrojte úsečky dĺžky .

 

3) Zostrojte úsečky dĺžky , (1 +

 

4) Dané sú tri úsečky dĺžky a, b, c. Zostrojte úsečku u dĺžky .

 

8.3.5 Zostrojiť dotyčnicu kružnice v jej bode i prechádzajúcu daným bodom

 

1) K danej kružnici k(S, r) zostrojte dotyčnice, ktoré prechádzajú daným bodom A, pre ktorý platí:

a) çASç = r                                     b) çASç > r

 

2) Dané sú rôznobežky a, b a body A Î a, B Ï a.

a)   Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú priamok a, b a ktoré prechádzajú bodom A

b)  Zostrojte všetky kružnice, ktoré sa dotýkajú priamky a a prechádzajú bodmi A, B

 

3) Daná je kružnica k a priamka p. Zostrojte dotyčnicu kružnice k, ktorá

a)   je rovnobežná s priamkou p

b)  je kolmá na priamku p

c)   zviera s priamkou p uhol 30°.

 

4) Dané sú kružnice k, l. Zostrojte všetky spoločné dotyčnice týchto dvoch kružníc.

 

5) Daná je kružnica k a priamka p. Zostrojte takú kružnicu s polomerom 4 cm, ktorá sa dotýka kružnice k aj priamky p.

 

8.3.6.Zostrojiť množinu vrcholov všetkých uhlov s rovnakou veľkosťou, ktorých ramená prechádzajú danými bodmi

 

1) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané a, va, a < 2R (rozmery si vhodne zvoľte).

 

2) Narysujte úsečky |AB| = 5 cm, |BC| = 3 cm, kde |Ð ABC| = 120°. Zostrojte bod X tak, aby |Ð AXB| = 60° a |Ð BXC| = 75°.

 

3) Daná je úsečka AB. Zostrojte množinu bodov, z ktorých vidieť úsečku AB pod uhlom:

a) 40°                                            b) 90°                                                 c) 130°

 

4) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané:

a)             a = 4 cm, ta = 3 cm, a = 60°

b)             ta = 6 cm, tb = 7,5 cm, a = 70°

c)             ta = 6 cm, tc = 7,5 cm, a = 70°

 

5) Daný je ostrouhlý trojuholník ABC. Zostrojte bod, z ktorého vidieť všetky jeho strany pod rovnakým uhlom.

 

8.3.7 Aplikovať v konštrukčných úlohách vedomosti o trojuholníku, jeho ťažniciach, výškach, kružnici vpísanej a opísanej

 

2) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané:

a) ta = 4,5 cm, tb = 6 cm, tc = 7,5 cm                      b) a = 9 cm, vb = 4,5 cm, ta = 2,5 cm

c) a = 4 cm, vb = 3,5cm, tc = 3 cm                         d) a + b = 9 cm, c = 5,7 cm, g = 75°

e) a + b = 9 cm, a = 35°, b = 75°                        g) a - b = 4 cm, c = 5,5 cm, g = 45°

 

2) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané:

a) c = 4 cm, a = 5 cm, vc = 3 cm                            b) b = 4 cm, a = 5 cm, vc = 3 cm

c) c = 5 cm, vc = 4 cm, a = 120°                           d) b = 5 cm, vc = 4 cm, a = 45°

e) a = 5 cm, vc = 4 cm, a = 45°

 

3) Spomedzi všetkých trojuholníkov so stranami a = 4 cm, b = 6 cm, zostrojte ten, čo má najväčší obsah.

 

4) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané (r je polomer vpísanej kružnice, r je polomer opísanej kružnice):

a) a = 50°, b = 100°, r = 2 cm                             b) a = 78°, c = 8 cm, r = 2 cm

c) |Ð ABC| = 36°, |Ð ACB| = 74°, r = 4 cm          d) a = 54°, vc = 6 cm, r = 2 cm        

e) |Ð ABC| = 36°, |Ð ACB| = 74°, r = 4 cm

 

8.3.8 Zostrojiť v danom zhodnom zobrazení alebo rovnoľahlosti obraz bodu, priamky, mnohouholníka a kružnice

 

1) Daný päťuholník otočte okolo zvoleného stredu o uhol +75°.

 

2) Zostrojte útvar stredovo súmerný s daným trojuholníkom ABC (voľte postupne ostrouhlý, pravouhlý a tupouhlý trojuholník) podľa stredu súmernosti S, ktorý leží:

a) zvonka trojuholníka ABC                                    b) v ťažisku trojuholníka ABC

c) v strede strany BC

 

3) Zostrojte obraz kružnice k(S, r) :

a) v osovej súmernosti podľa priamky o (uvažujte o všetkých vzájomných polohách priamky o vzhľadom na kružnicu k)

b) v stredovej súmernosti podľa bodu O (bod O je postupne vonkajším, vnútorným i bodom kružnice k)

c) v posunutí, ktoré je určené vektorom ®AB

d) v otáčaní, ktoré je určené stredom otočenia O a uhlom +60°

e) v rovnoľahlosti, ktorá je určená stredom O a koeficientom h (voľte postupne h = 2,

h = , h = 1, h = -1)

 

4) Zvoľte lichobežník ABCD so základňami AB, CD a zostrojte k nemu rovnoľahlý lichobežník, ak je stredom rovnoľahlosti bod S Î AC Ç BD a koeficient rovnoľahlosti

a) h = 0,5                                                              b) h = -0,5

 

8.3.9 Aplikovať v konštrukčných úlohách vedomosti o zhodných a podobných zobrazeniach

 

1) Daná je priamka p a dva rôzne body A, B, ktoré neležia na priamke p. Nájdite na priamke p bod C tak, aby súčet úsečiek AC, BC bol menší než súčet úsečiek AX, BX, kde X je ľubovoľný bod priamky p, rôzny od bodu C.

a) body A, B ležia v navzájom opačných polrovinách určených priamkou p

b) body A, B ležia v tej istej polrovine určenej priamkou p

 

2) Do daného štvorca ABCD vpíšte rovnostranný trojuholník, ktorého jeden vrchol leží na strane AB v danom bode X.

 

3) Daný je štvorec ABCD. Na strane AB zvoľte bod M a zostrojte:

a)      štvorec MNPQ,

b)      obdĺžnik MXPY,                                                                                                                    

c)      kosodĺžnik MEPF,

ktorého vrcholy ležia na stranách štvorca ABCD.

 

4) Daný je trojuholník ABC. Určte na strane AB bod X, na strane AC bod Y tak, aby platilo |AY| = |BX|, XY je rovnobežné s BC.

 

5) Dané sú tri sústredné kružnice k1(S, r1), k2(S, r2), k3(S, r3), pričom r1 > r2 > r3. Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC tak, aby jeho vrcholy A, B, C ležali postupne za sebou na kružniciach k1, k2, k3.

 

6) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané (r je polomer kružnice vpísanej, r je polomer kružnice opísanej):

a) a : b : c = 3 : 4 : 5, r = 4 cm                               b) a : b = 4 : 3, b = , a + b = 9 cm

c) b = , a = , a + b + c = 9 cm                  d) |Ð ABC| = 48°, a = 2c, r = 4 cm

 

8.3.10 Riešiť jednoduché konštrukčné úlohy, zostrojiť trojuholník, rovnobežník, lichobežník a kružnicu použitím množín bodov danej vlastnosti.

 

1) Zostrojte štvorec, ak je dané (e je uhlopriečka štvorca):

a) e = 6                              b) a + e = 8                             c) e - a = 2

 

2) Zostrojte obdĺžnik, ak je dané (e je uhlopriečka obdĺžnika):

a) a = 5, e = 7                                            b) a - b = 3,5; e = 9

 

3) Zostrojte kosodĺžnik ABCD, ak je dané (e je uhlopriečka AC):

a) a = 7, b = 4,5; va = 4                             b) a = 7, e = 10, va = 4

c) a = 7, e = 10, vb = 5,5

 

4) Zostrojte lichobežník ABCD, ak je dané (a = AB || DC = c, e = AC, f = BD):

a)      a = 4, d = 2.a = 45°, b Î {1, 2,  3}                             

b)      b = 4, e = 9,  f = 7, v = 3,5

c)   a = 10, c = 5, e = 6,  f = 12

 

5) Zostrojte kružnicu, ktorá sa dotýka troch navzájom rôznych priamok a, b, c, ak:

a) a || b || c                                                 b) a || c, K Î a Ç b

c)      K Î a Ç b, L Î a Ç c, M Î c Ç b