5.3 Kvadratická funkcia

5.3.1 Definovať kvadratickú funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt

5.3.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument

5.3.3 Vysvetliť geometrický význam parametrov a, c v súvislosti s grafmi funkcií y = x2 a  y = ax2 + bx + c

5.3.4 Nájsť vrchol a os paraboly, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, určiť jej nulové body a načrtnúť ju

5.3.5 Určiť, podľa načrtnutého grafu, obor hodnôt a intervaly monotónnosti

5.3.6 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch súvislosť medzi hodnotou diskriminantu kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 a grafom funkcie y = ax2 + bx + c

 

 

5.3.1 Definovať kvadratickú funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt

 

1) Určte funkciu, ktorá vyjadruje závislosť obsahu rovnostranného trojuholníka od dĺžky jeho strany. Určte aj obor definície a obor hodnôt tejto funkcie.

 

2) Nájdite funkciu, ktorá vyjadruje závislosť objemu valca od priemeru jeho podstavy, ak výška v = 5 cm. Určte aj obor definície a obor hodnôt tejto funkcie.

 

3) Pri zvislom vrhu telesa smerom nahor sa výška s (v metroch) nad istým miestom menila s časom t (v sekundách) podľa vzťahu s = 20 + 40t - 5t2. Určte maximálnu výšku, do ktorej teleso vystúpilo i čas trvania tohoto výstupu.

 

4) Určte obor definície a obor hodnôt funkcie:

a)                                            b)

c)                                            d)

e)                                       f)        

 

5.3.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument

 

1)      Daná je funkcia f :  y = x2 + 3x - 28.

a)      Určte f(0),  f(2),  f(-1).

b)      Určte hodnoty premennej x, pre ktoré platí, že f(x) = 42,  f(x) = -28,  f(x) = -35, f(x) = -30,25.

c)      Určte priesečníky grafu funkcie f  so súradnicovými osami.

 

2)      Daná je funkcia f :  y = x2 - 4x - 12.

a)      Určte f(0),  f(7),  f(-1).

b)      Určte hodnoty premennej x, pre ktoré platí, že f(x) = 9,  f(x) = -20,  f(x) = ,

c)      Určte priesečníky grafu funkcie f  so súradnicovými osami.

 

3) Určte všetky kvadratické funkcie s D(f) = R, ktorých prvkami sú usporiadané dvojice

a) [0; 1], [2; -1], [1, -1]                            b) [3; 8], [1; -2], [-1; 4]

 

4) Ktorá kvadratická funkcia f má tú vlastnosť, že f(1) = 3,  f(2) = 1,  f(3) = 2?

 

5.3.3 Vysvetliť geometrický význam parametrov a, c v súvislosti s grafmi funkcií y = x2  a   y = ax2 + bx + c

 

1)      V jednej súradnicovej sústave načrtnite grafy daných funkcií a pokúste sa charakterizovať ich vzájomný vzťah:

a)     

b)     

c)     

d)     

2)      Načrtnite graf funkcie  f :  y = 2x2 - 2 a opíšte jej vlastnosti.

 

3)      Načrtnite grafy funkcií:

a)                                           b)

 

4)      Aký má predpis kvadratická funkcia, ktorej graf je parabola s osou v osi +y a vrcholom v začiatku sústavy súradníc? Ako znie rovnica tejto paraboly, keď je jej vrchol posunutý:

a)      o dve jednotky v smere osi y,

b)      o tri jednotky v smere osi -y,

c)      o jednu jednotku v smere osi x,

d)      o štyri jednotky v smere osi -x.

Ako bude znieť rovnica paraboly v prípadoch c) a d), ak os paraboly je rovnobežná s osou -y?

 

5.3.4 Nájsť vrchol a os paraboly, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, určiť jej nulové body a načrtnúť ju

 

1) Nájdite súradnice vrcholu paraboly

 

2) Zostrojte graf funkcie  f :  y = x2 - 6x + 8  a opíšte jej vlastnosti.

 

3) Načrtnite graf funkcie   a nájdite jej extrémy.

 

4) Určte predpis funkcie, ktorej grafom je parabola s vrcholom V[2; -3] prechádzajúca bodom A[0; 1]. Parabolu načrtnite a určte jej nulové body.

 

5.3.5 Určiť, podľa načrtnutého grafu, obor hodnôt a intervaly monotónnosti

 

1) Rozhodnite, či je funkcia  f :  ohraničená a nájdite jej intervaly monotónnosti i obor hodnôt.

 

2) Načrtnite graf funkcie  f :  y = x2 - 4x,  x Î <-2 ; 4). Určte jej obor hodnôt a intervaly monotónnosti.

 

3) Dané sú funkcie:

                      

                       

a)      Načrtnite ich grafy a určte obory hodnôt.

b)      Určte intervaly monotónnosti a extrémy.

c)      Zistite, kedy majú jednotlivé funkcie funkčné hodnoty kladné a kedy záporné.

 

4) Načrtnite graf funkcie  f : y =  a opíšte jej vlastnosti.

 

5) Načrtnite graf funkcie f :  y = |x2 - x -6| + 4. Nájdite intervaly monotónnosti tejto funkcie.

 

5.3.6 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch súvislosť medzi hodnotami diskriminantu kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 a grafom funkcie y = ax2 + bx + c

 

1)      Daný je parametrický systém funkcií  y = x2 - 3x + c, kde c Î R. Slovne opíšte vzájomnú polohu všetkých funkcií daného parametrického systému. Určte c tak, aby táto funkcia

a) nemala spoločný bod s osou x,

b) mala práve jeden spoločný bod s osou x,

c) mala práve dva spoločné body s osou x.

 

2)      Daná funkcia je funkcia  f : y = ax2 - 2. Vysvetlite, ako a či závisí počet prienikov grafu f s x-ovou osou od parametra  a.

 

3)      Určte hodnoty parametrov a, b, c predpisu kvadratickej funkcie y = ax2 + bx + c a hodnotu diskriminantu D kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 tak, aby grafom funkcie bola parabola, ktorá je:

a)      obrátená "nahor" (má maximum) a pretína os x,

b)      obrátená "nahor" (má maximum) a dotýka sa osi x,

c) obrátená "nahor" (má maximum) a nepretína os x,

d) obrátená "nadol" (má minimum) a pretína os x,

e)      obrátená "nadol" (má minimum) a dotýka sa osi x,

f)        obrátená "nadol" (má minimum) a nepretína x.