4.4 Kvadratické rovnice a nerovnice

4.4.1 Efektívne riešiť všetky typy kvadratických rovníc

4.4.2 Poznať a aplikovať vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

4.4.3 Poznať úlohu diskriminantu kvadratickej rovnice

4.4.4 Rozložiť na súčin kvadratický trojčlen

4.4.5 Poznať a využívať súvis medzi riešením kvadratickej nerovnice a grafom kvadratickej funkcie

4.4.6 Správne riešiť sústavu lineárnej a kvadratickej rovnice s 2 neznámymi

 

 

 

4.4.1. Efektívne riešiť všetky typy kvadratických rovníc

 

1) Riešte rovnicu s odmocninou:

a) x = + 6                                            b) 3 + x =

c)  + x = 9                                      d) 2x - 1 =  - 5

 

2) Riešte rovnicu:

a) 2x2 + 9x = 0                                          b) 3x2 = 6x

c) 4x2 - 64 = 0                                          d) 16 - 7x2 = 79

e) 1,8x2 - 2 = 3                                         f)  (2x - 3)2 = 81 - 12x

 

3) Riešte rovnicu:

a) (x - 6)2 + (x - 8)2 = 0                                       b)

c)                    d) x2 : (x2 + 1) = 441 : 841

e) (2x + 3)(3x - 4) + (4x - 5)(5x + 6)  = 10         f)  2x2 + 1,1x - 3,91 = 0        

 

4) Obvod kosoštvorca je 104, obsah 480. Určte dĺžku uhlopriečok.

 

5) Nájdite dve čísla tak, aby sa ich súčet rovnal 10 a súčin 1.

 

4.4.2.Poznať a aplikovať vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice

 

1) Určte spamäti druhý koreň kvadratickej rovnice, ak prvý poznáte. Niektoré rovnice majú utajený koeficient:

a)   x2 + 4x - 2 = 0,              x1 = 2

b)  3x2 + 11x - 11 = 0,       x1 = 1

c)   x2 + Hx + 14 = 0,           x1 = -7

d)  x2 + 6x + H = 0,             x1 = -2

e)   5x2 - Hx - 21 = 0,         x1 = -6

f)    -x2 + 3x + H = 0,          x1 = 21

 

2) Nájdite kvadratickú rovnicu, ktorá má korene r, s, ak:

a)   r = 4, s = -7

b)  r = 3 + ,  s = 3 -

c)   r = 6, s =

d)  r = 2, s = -5 a lineárny koeficient sa rovná 10

e)   r = -0,5; s = 8 a kvadratický koeficient sa rovná 4

 

3) Bez toho, aby ste danú rovnicu s koreňmi x1, x2 riešili, nájdite kvadratickú rovnicu s koreňmi v zátvorke:

a)    x2 - 7x + 12 = 0,          (y1 = 3x1, y2 = 3x2)

b)   2x + 11x2 - 13 = 0,      (y1 = x2 - 6, y2 = x1 - 6)

c)    x2 + 3x - 10 = 0,           (=

4) Ak a > 0, b > 0, c < 0, tak rovnica ax2 + bx + c = 0 má:

A   dva reálne korene, z ktorých jeden je záporný a jeden kladný

B   dva reálne korene, pričom obidva sú kladné

C   dva reálne korene, pričom obidva sú záporné

D   má práve jeden reálny koreň, ktorý je záporný

E   nemá žiadne reálne korene

 

4.4.3. Poznať úlohu diskriminantu kvadratickej rovnice

 

1) Určte druh koreňov danej rovnice:

a) x2 - 7x - 30 = 0                                                b) x2 + 5x - 2346 = 0

c) 3x2 + 23x - 70 = 0                                            d) 5x2 - 18x + 6 = 0

e) 12x2 - 20x - 25 = 0                                          f)  62x2 - x + 1 = 0

 

2) Pre ktoré b nemá rovnica  3x2 - bx + b + 5 = 0  riešenie v množine R?

 

3) Určte hodnotu parametra p Î R tak, aby rovnica x2 - px + 9 = 0 mala aspoň jeden reálny koreň.

 

4.4.4. Rozložiť na súčin kvadratický trojčlen

 

1) Upravte kvadratický trojčlen na tvar (X  A)2  B:

  a) x2 + 2x + 5                                             b) x2 - 10x

  c) x2 - 18x - 7                                           d) x2 - 4,2x + 10

  e) x2 + 3x - 1                                             f)  x2 - x

  g) 6 - 68x + x2                                                         h) x2 + 1,2x + 8

 

2) Upravte kvadratický trojčlen na tvar (X - A)2  + B:

a)  x2 + 6x + 9                                           b)  x2 + x + 0,25

x2 + 6x + 13                                              x2 + x + 1

x2 + 6x + 2                                                x2 + x - 1

 

c) x2 -  +   

    x2 -  + 

    x2 -  + 

 

3) Upravte na súčin vypočítaním koreňov kvadratickej rovnice:

a) x2 + 2x - 63                                          b) 48 - 16x + x2

c) x2 + 7x - 1                                            d) 2x2 + 7x - 9

e) 7 - 5x2 + 2x                                          f)  x2 + 3x + 7

g) 4x2 + 4x + 1

 

4) Rozložte na súčin:

a) x2 + 7xy - 12y2                                     b) 3x2 - 5xy + 2y2

 

5) Riešte rovnice. Najskôr ich upravte:

a)  = 1 + x                                   b)  = x2

c) x =                                       d) 9 =  - x

 

4.4.5 Poznať a využívať súvis medzi riešením kvadratickej nerovnice a grafom kvadratickej funkcie

 

1) Pri riešení kvadratickej nerovnice využite graf kvadratickej funkcie:

a) x2 - 1  0                                                         b) x2 - 1 < 0

c) x2 + 2x - 3  0                                                 d) x2 + 2x - 3 < 0

e) - x2 - 4x - 3  0                                             f)  - x2 - 4x - 3 < 0

 

2) S využitím grafov kvadratickej funkcie riešte nasledujúce nerovnice:

a) x2 - 9x + 14  0                                               b) -x2 - 2x + 8 > 0

c) x2 + 4x + 9  0                                                 d) x2 - 6x + 7 < 0

 

3) Riešte nerovnicu:

a) x2 - x - 12 < 0                                                  b) x2 - 8x + 12 ³ 0

c) 2x2 - 3x + 1 = 0                                                d) 4x2 > 12x

e) 2x2 + 3x + 4 > 0                                                f)  4x - x2 > 12

g) x(x - 2) £ 2x - 4                                              h)

 

4.4.6.  Správne riešiť sústavu lineárnej a kvadratickej rovnice s 2 neznámymi.

 

1) Pre x, y Î R riešte sústavy rovníc:

a)  x - y = 27         b) 2x - y = 0               c) x2 - y = -3

x2 - y = 0                y - x2 = 1                   x - 2y = 1

 

2) Pre x, y Î R riešte sústavy rovníc:

a)  x - 2y + xy = 27                                   b) x2 + 4y2 = 10

x - y - 3 = 0                                             x + 6y - 10 = 0

 

c) 2x2 - 3y2 - 5x - 2y = 26                       d) x2 + y2 + 4x - 2y = 0

x - y = 4                                                   x - y = 2

 

3) Riešte sústavy rovníc výpočtom i graficky:

a)  y = x2 - x                                             b)  y = 3x2 + x + 1

y = 3x - 3                                                  y = 2x - 8

 

c)  y = 5x2 - 7                                           d)  y = 2 - 5x - 5x2

y = 4x - 10                                                y = 3x2 + 7x + 2

 

4) Riešte sústavy rovníc:

a)  x + y = 7                                               b) xy + 21 = 0

x2 + y2  = 37                                               x - y = 10

 

c) x2 + y2  + 2x = 9                                    d) x2 + yx = 35

x2 + y2  - 6y = 11                                       x + 3y = 1

 

5) Nájdite súradnice všetkých bodov kružnice (x - 2)2 + (y - 2)2  = 4 a priamky y = 2x.