8. PLANIMETRIA

OBSAH

Základné útvary v rovine, polpriamka, uhol, polrovina, dvojice uhlov, pravý uhol, incidencia, rovnobežnosť. Konvexné a nekonvexné útvary, trojuholník, štvoruholníky, konvexné n-uholníky, kružnica.

Zhodnosť trojuholníkov, vety o zhodnosti trojuholní­kov, vzťahy medzi stranami a uhlami. Ťažnica, výška, kruž­nica vpísaná a opísaná trojuholníku, ťažisko, priesečník výšok.

Základné polohové vzťahy a jednoduché metrické úlohy, uhly v kružnici, stredový, obvodový uhol a vzťahy medzi nimi, Talesova veta.

Uhly v pravidelnom n-uholníku, podobnosť trojuholní­kov, vety o podobnosti trojuholníkov, pomer obvodov a obsa­hov podobných trojuholníkov, Euklidove a Pytagorova veta.

Obsahy rovinných útvarov, pravidelných n-uholníkov, štvoruholníkov, obvod a obsah kruhu i jeho častí.

Množiny bodov danej vlastnosti, kružnica a dotyčnica kružnice.

Konštrukčné úlohy, rozbor, počet riešení.

Vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníka, vyjadre­nie prvkov trojuholníka (výška, ťažnica, polomer opísanej a vpísanej kružnice), obsah trojuholníka a vzorce na jeho výpočet.

Zhodné a podobné zobrazenia v rovine (osová a stredová súmernosť, otáčanie, posúvanie, identita, rovnoľahlosť), obraz úsečky, priamky, n-uholníka a kružnice v jednotlivých zobrazeniach, samodružné body a útvary, stred a os súmer­nosti útvaru. Skladanie osových súmerností. Rovnoľahlosť, rovnoľahlosť kružníc. Konštrukčné úlohy riešené pomocou ge­ometrických zobrazení.

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

8.1 Základné vedomosti (pojmy)

8.1.  1 Poznať základné geometrické útvary v rovine (bod, priamka, rovina) a na konkrétnych príkladoch opísať vzťahy medzi nimi

8.1.  2 Definovať geometrické útvary (úsečka, uhol, rovinný pás, trojuholník, štvoruholník, konvexný n-uholník, kružnica, kruh) pomocou množinových operácií alebo pomocou charakteristickej vlastnosti

8.1.  3 Aktívne ovládať pojmy uhol, veľkosť uhla (v stupňovej i oblúkovej miere), orientovaný uhol

8.1.  4 Rozoznať dvojice uhlov (styčné, doplnkové, susedné, striedavé) a tieto poznatky aktívne využívať pri výpočtových úlohách o veľkostiach uhlov

8.1.  5 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov ob­vodový a stredový uhol, sformulovať vetu o ich vzťahu.

8.1.  6 Interpretovať Talesovu vetu ako dôsledok vety o stredovom a obvodovom uhle

8.1.  7 Rozlíšiť konvexný a nekonvexný geometrický útvar

8.1.  8 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch priamok

8.1.  9 Klasifikovať vzájomnú polohu priamky a kružnice i vzájomnú polohu dvoch kružníc

8.1.10 Klasifikovať trojuholníky

8.1.11 Klasifikovať štvoruholníky

8.1.12 Aktívne ovládať vety o určenosti trojuholníka, vety o stranách a uhloch v trojuholníku, poznať ťažnice, výšky, stredné priečky, kružnicu vpísanú a opísanú trojuholníku, ich definície a vlastnosti

8.1.13 Aktívne ovládať pojmy štvoruholník, rovnobežník (štvorec, kosoštvorec, kosodĺžnik, obdĺžnik), lichobežník, poznať vlastnosti strán, uhlov a uhlopriečok v štvoruholníku

8.1.14 Aktívne ovládať pojmy mnohouholník, počet uhlopriečok, pravidelný n-uholník, súčet vnútorných uhlov

8.1.15 Aktívne ovládať pojmy kružnica, kruh, tetiva, oblúk, odsek, výsek, medzikružie

8.1.16 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov odchýlka dvoch priamok, vzdialenosť bodu od priamky a vzdialenosť dvoch rovnobežiek

8.1.17 Zistiť (vypočítať) obsahy a obvody trojuholníkov, štvoruholníkov, pravidelných n-uholníkov, kruhu a jeho častí

8.1.18 Riešiť aplikované úlohy pomocou trigonometrie

 

8. Planimetria

8.1.1 Poznať základné geometrické útvary v rovine (bod, priamka, rovina) a na konkrétnych príkladoch opísať vzťahy medzi nimi.

 

1) Zvoľte šesť rôznych bodov A, B, C, D, E, F tak, aby trojice A, B, C a D, E, F ležali na priamkach. Koľko rôznych priamok je určených danými bodmi?

 

2) Zvoľte päť rôznych bodov A, B, C, D, E, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke. Zapíšte všetky priamky, ktoré sú určené týmito bodmi.

 

3) Vyslovte a zapíšte slovami výroky o vzájomnej polohe útvarov znázornených na obrázku, ktoré sú vyjadrené pomocou symbolov:

a) A Î p                                                                                                B      p

b) D Ï p                                                                                                    

c) q = « DE                                                                                            ×F

d) C Î p Ç q                                                                                           

e) D Î ® ABF                                                                                                         q

f)  p Ì « ABE                                      E                         C                                D

g) ® ABD = ® ABF

h) F Î ® qB Ç ® pD                                         

i)  ® CA È ® CB = p                                    A

 

 

4) Zapíšte pomocou vhodných symbolov výroky o vzájomnej polohe útvarov znázornených na obrázku:

a) polpriamka CD leží v polrovine pF

b) polpriamka EC neleží v polrovine ABE

c) polrovina ACD splýva s polrovinou BCF

d) bod B je spoločným bodom polroviny qF a polpriamky CB

                                                                                     p

                                                                                  B

 

                                                                                     ´ F

 

                                                                                                 q

                            E                        C                                 D

 

                                  A

 

e) bod E je bodom polpriamky opačnej k polpriamke CD

f)  bod B leží na priamke p

g) bod E neleží na priamke p

h) bod C patrí do prieniku priamok p, q

i)  úsečka CB je prienikom polpriamok CB a BC

 

5) Daných je šesť bodov A, B, C, D, E, F, ktoré sú vrcholmi pravidelného šesťuholníka a priamka p, ktorá oddeľuje bod B od bodu C a bod D od bodu E.

a) Vypíšte tie body, ktoré priamka p oddeľuje od bodu C.

b) Zapíšte všetky polroviny určené hranicou p a jedným z daných bodov. Ktoré z nich sú totožné ?

 

8.1.2 Definovať geometrické útvary (úsečka, uhol, rovinný pás, trojuholník, konvexný n-uholník, kružnica, kruh) pomocou množinových operácií alebo pomocou charakteristickej vlastnosti.

 

1) Načrtnite priamku p a na nej tri rôzne body A, B, C v napísanom poradí. Zapíšte:

a)       všetky polpriamky, ktoré sú určené týmito bodmi,

b)       všetky úsečky, ktoré sú určené týmito bodmi,

c)       všetky vzťahy medzi bodmi, polpriamkami, úsečkami na priamke p.

d)       Nájdite dvojice polpriamok, ktoré nemajú spoločný bod.

 

2) Nech A, B, C, D sú rôzne body priamky v napísanom poradí. Čo je prienik:

a) polpriamok AB, BA                               b) polpriamok BC, DA

c) polpriamok BA, BC                               d) polpriamok BA, CD

e) úsečiek AC, BC                                     f)  úsečiek AC, CD

g) úsečiek AD, BC                                     h) úsečiek AB, CD

i) úsečky AC a polpriamky BD?

 

3) Načrtnite všetky možnosti vzájomnej polohy troch priamok p, q, r v rovine. Ku každej možnosti určte aj:

a) p Ç q, p Ç r, q Ç r                                            b) p Ç q Ç r           

 

4) Načrtnite všetky možnosti vzájomnej polohy troch polrovín pP, qQ, rR v rovine. Ku každej možnosti určte aj:

a) ®pP Ç ®qQ, ®pP Ç ®rR, ®qQ Ç ®rR                           

b) ®pP Ç ®qQ Ç ®rR           

 

5) V rovine sú dané tri rôzne body, ktoré neležia na jednej priamke. K týmto trom bodom zostrojte štvrtý bod tak, aby tieto štyri body boli vrcholmi:

a) konvexného štvoruholníka                       b) nekonvexného štvoruholníka

 

6) Pomenujte a zapíšte symbolicky nasledujúce množiny:

a) Množina všetkých bodov roviny, ktoré sú vzdialené od daného pevného bodu 8 jednotiek dĺžky.

b) Množina všetkých bodov roviny, ktoré sú vzdialené od daného pevného bodu najviac 8 jednotiek dĺžky.

c) Množina všetkých bodov roviny, ktoré sú vzdialené od daného pevného bodu viac ako 8 jednotiek dĺžky.

d) Množina všetkých bodov roviny, ktoré sú vzdialené od daného pevného bodu najmenej 8 jednotiek dĺžky.

 

8.1.3 Aktívne ovládať pojmy uhol, veľkosť uhla (v stupňovej i oblúkovej miere), orientovaný uhol

 

1) Zvoľte tri rôzne body A, B, C, ktoré neležia na priamke.

 a) Vyznačte tieto útvary: konvexný uhol ACB, vrcholový uhol ku konvexnému uhlu CBA, uhol vedľajší ku konvexnému uhlu ABC s ramenom BC, nekonvexný uhol ABC

b) Opíšte vznik útvarov uvedených v a) pomocou množinových operácií s polrovinami.

 

2) Veľkosti uhlov v stupňovej miere vyjadrite v oblúkovej miere:

a) 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 225°, 300°, 330°, 360°

b) 55°, 175°, 354°, 470°, 517°

 

3) Veľkosti uhlov v oblúkovej miere vyjadrite v stupňoch (stupňovej miere):

a)

b) 0,75; 2,4; 5,3; 4,1; 6,6

 

4) Určte veľkosť orientovaného uhla, ktorý na kompase zviera so smerom V smer:

a) SV                                  b) SSV                                    c) SZZ

 

5) K daným uhlom a = 60°, b = 75°, g = 15° zostrojte graficky uhly:

a) a + b + g                       b) a + b - g                            c) a - (b - g)

 

8.1.4 Rozoznať dvojice uhlov (styčné, doplnkové, susedné, striedavé) a tieto poznatky aktívne využívať pri výpočtových úlohách o veľkostiach uhlov

 

1) Dané sú dve rovnobežné priamky a, b a ich priečka p. Zostrojte osi jednej dvojice striedavých uhlov a dokážte, že sú rovnobežné.

 

2) K danému uhlu a znázornenému na obrázku 8.1.2 určte uhol:

a) vrcholový            b) vedľajší            c) striedavý d) súhlasný

                                           

      

                                         

                                         

                                                                                            

 

                                                              

                                  

                                                                                              Obr. 8.1.2

                                           

 

3) Určte veľkosti uhlov b, b1, d, d1, g1  v situácii znázornenej na obrázku 8.1.3, ak a = 70°, g = 40°  

a  a || b.

                                                                                                

                                                       

                                                                                                                     

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) V situácii znázornenej na obrázku 8.1.4 určte veľkosti uhlov:

 


a)    a, g, ak sa a1 = 120°, b = 30°                                              

b)  a1, b, g, ak sa a = 50°, b =

c)   a, b, g, ak sa g1 = 88°, a = b + 64°

 

 

 

 

 

 

 

5) Určte veľkosť uhla w znázorneného na obrázku 8.1.5, ak a = 60° a  a || b.

                                                                   

                                         

 

                                                                                                                 

                                                                       

 

 

 

6) Určte veľkosti uhlov a1,  g, g1, d  znázornených na obrázku 8.1.6, ak a = 62°, b = 48° a a || b.   

                                                c           d

                                                              g1                           b                                         

                                                                   g

                                                d

 

                                                                                   b

                                                                                                   a

                                     a1    a

 

                      Obr. 8.1.6

 

8.1.5 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov obvodový a stredový uhol, sformulovať vetu o ich vzťahu

 

1) V kružnici k(S, r) je daná tetiva AB, ktorej dĺžka je menšia ako 2r.

a)   Načrtnite stredový uhol w príslušný ku kratšiemu oblúku AB.

b)  Načrtnite aspoň tri obvodové uhly príslušné k tomuto oblúku.

c)   Ak sa w = 120°, určte veľkosti vyznačených obvodových uhlov.

 

2) Určte stredový uhol, ak príslušný obvodový uhol má veľkosť:

a)  23°                                b) 120°                                   c) 90°

d)  65°25¢                           e) 105° 45¢

 

3) Určte obvodový uhol, ak príslušný stredový uhol má veľkosť:

a) 60°                                 b) 90°                                     c) 180°

d) 168°20¢                         e) 256°46¢

 

4) Ako sa zmení stredový uhol, ak príslušný obvodový uhol sa:

a) zmenší dvakrát                b) zväčší o 15°            c) zmenší o 32°20¢

 

5) Určte veľkosti uhlov, ktoré na hodinovom ciferníku zvierajú spojnice bodov označené číslami:

a) 8, 11 a 11, 2                   b) 7, 1 a 1, 4                           c) 7, 8 a 8, 11

 

8.1.6 Interpretovať Talesovu vetu ako dôsledok vety o stredovom a obvodovom uhle

 

1) Zostrojte množinu všetkých bodov, z ktorých je vidieť úsečku AB (½AB½= 5 cm) pod uhlom:

a) 30°                     b) 45°                         c) 60°                          d)90°

 

2) Vyslovte Talesovu vetu a dokážte jej platnosť pre niekoľko konkrétnych uhlov.

 

3) Daná je kružnica k(S, r) a bod A, ktorý leží zvonka nej. Zostrojte dotyčnicu ku kružnici k, ktorá prechádza bodom A.

 

4) Nad priemerom AB je opísaná polkružnica k. Bod C je ľubovoľný bod tejto polkružnice rôzny od A i B. Do trojuholníka ABC je vpísaná kružnica so stredom S. Akú veľkosť má uhol ASB?

 

8.1.7. Rozlíšiť konvexný a nekonvexný geometrický útvar

 

1)      Dokážte, že

a) kružnica nie je konvexný útvar,

b) kruh je konvexný útvar.

 

2) Uveďte príklady dvojíc nekonvexných útvarov, ktoré majú konvexný prienik, obsahujúci trojuholník.

 

3) Vypočítajte veľkosti zvyšných uhlov konvexného štvoruholníka, ak a = 70°, b = 120°, g = 90°.

 

4) Zistite, či existuje konvexný šesťuholník, ktorého všetky vnútorné uhly majú veľkosť 120° a ktorý nie je pravidelný.

 

5) Rozhodnite, či sú nasledujúce útvary konvexné:

a) úsečka bez krajného bodu                      b) úsečka bez jedného vnútorného bodu

c) trojuholník bez jedného vrcholu   d) trojuholník bez dvoch vrcholov

e) konvexný uhol bez vrcholu                      f)  trojuholník bez stredov strán

 

8.1.8. Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch priamok

 

1) Načrtnite všetky možnosti vzájomnej polohy dvoch priamok p, q v rovine. Ku každej možnosti určte aj p Ç q.

 

2) Daná je priamka p a bod A Ï p. Zostrojte priamku q tak, aby platilo:

a) A Î q Ù p Ç q = Æ                                      b) A Î q Ù p Ç q = {P}

c) A Î q Ù p Ç q = p

 

3) Body A, B, C, D, E, F sú vrcholy pravidelného šesťuholníka. Určte vzájomnú polohu všetkých dvojíc priamok, ktoré sú určené vrcholmi daného šesťuholníka.

 

4) Určte na koľko častí rozdelí rovinu:

a) päť rovnobežiek                                            b) n rovnobežiek

 

8.1.9 Klasifikovať vzájomnú polohu priamky a kružnice i vzájomnú polohu dvoch kružníc

 

1) Načrtnite všetky možné prípady vzájomnej polohy priamky a kružnice.

 

2) Daná je kružnica k(S, r = 3cm) a bod A tak, že |AS| = 7 cm. Narysujte dotyčnice ku kružnici k, ktoré prechádzajú bodom A. Dotykové body označte T1, T2. Vypočítajte |AT1|, |AT2|.

 

3) Daná je kružnica k( S, 3 cm) a priamka p. Vzdialenosť |Sp| = 5 cm. Zostrojte dotyčnice kružnice k

a)   rovnobežné s priamkou p

b)  kolmé na priamku p

c)   ktoré s priamkou p zvierajú 60°-vý uhol

 

4) Dané sú kružnice k, l. Zostrojte všetky spoločné dotyčnice týchto kružníc.

 

5) Zostrojte kružnice k1, k2, k3, ktoré majú polomery r1 = 5,5 cm, r2 = 2,5 cm, r3 = 1,5 cm tak, aby:

a) mali navzájom vonkajší dotyk

b) kružnice k1, k2 mali vnútorný a k2, k3 vonkajší dotyk

 

8.1.10 Klasifikovať trojuholníky

 

1) Klasifikujte trojuholníky: a) podľa dĺžok strán

b) podľa veľkosti vnútorných uhlov

 

2) Dokážte, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch.

 

3) Dokážte vetu o zhodnosti uhlov pri základni rovnoramenného trojuholníka použitím vety sss. (Spojte vrchol C so stredom S základne AB v trojuholníku ABC, v ktorom |AC| = |BC|.)

 

4) V rovnoramennom trojuholníku ABC (|AC| = |BC|) je daná ťažnica CC1 (|AC1| =  |C1B|). Dokážte, že úsečka CC1 je výškou trojuholníka a polpriamka CC1 osou uhla ACB.

 

5) Použitím vety o vonkajšom uhle trojuholníka dokážte, že ak je v trojuholníku jeden vnútorný uhol tupý alebo pravý, sú druhé dva vnútorné uhly zaručene ostré.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.1.11 Klasifikovať štvoruholníky

 

1) Pomenujte štvoruholníky znázornené na obrázku 8.1.

  

a)                                           b)                                                    c)

 

 

 

 

 

 

d)                                           f)                                                     g)

 

 

 

 

 

 

 

 

Obr. 8.1

 

2) Charakterizujte nasledujúce štvoruholníky pomocou uhlov, strán a uhlopriečok:

a) štvorec                           b) obdĺžnik                              c) kosoštvorec

d) rovnobežník                    e) lichobežník

 

3) Zostrojte rovnobežník ABCD s obvodom 14 cm a polomerom opísanej kružnice 5 cm.

 

4) Do kružnice k(S; r) je vpísaný štvoruholník ABCD tak, že jeho vrcholy delia kružnicu v pomere 2 : 3 : 3 : 4. Vypočítajte veľkosti vnútorných uhlov štvoruholníka.

 

5) Vo štvoruholníku ABCD sa uhol a = 40°, uhol b je štyrikrát a uhol g päťkrát väčší ako uhol d. Vypočítajte veľkosti vnútorných uhlov štvoruholníka ABCD, štvoruholník potom narysujte. (|AB| = 5 cm, |BC| = 2 cm).

 

8.1.12 Aktívne ovládať vety o určenosti trojuholníka, vety o stranách a uhloch v trojuholníku, poznať ťažnice, výšky, stredné priečky, kružnicu vpísanú a opísanú trojuholníku, ich definície a vlastnosti.

 

1) Rozhodnite, či je možné zostrojiť trojuholník, ktorého strany majú dĺžky:

a) 1 cm, 2 cm, 3 cm                                   b) 4 cm, 5 cm, 6 cm

c) 5cm, 12 cm, 13 cm                                d) 2,5 cm; 3,8 cm; 6,5 cm

 

2) V trojuholníku ABC, ktorého strany majú dĺžky a = 5 cm, b = 6 cm, c = 8 cm, zostrojte:

a) ťažisko                                                   b) priesečník výšok

c) kružnicu trojuholníku opísanú                  d) kružnicu trojuholníku vpísanú

 

3) Ťažnice rozdelia trojuholník na 6 trojuholníkov s rovnakým obsahom. Dokážte!

 

4) Narysujte ostrouhlý, pravouhlý i tupouhlý trojuholník a zostrojte im opísané kružnice.

 

5) V konvexnom štvoruholníku PQRS sú body A, B, C, D stredy (postupne) jednotlivých strán. Dokážte, že štvoruholník ABCD je rovnobežník. (Návod: AB je stredná priečka trojuholníka PQR.)

 

8.1.13 Aktívne ovládať pojmy štvoruholník, rovnobežník (štvorec, kosoštvorec, kosodĺžnik, obdĺžnik), lichobežník, poznať vlastnos­ti strán, uhlov a uhlopriečok v štvoruholníku.

 

1) Zostrojte osi vnútorných uhlov kosodĺžnika. Dokážte, že určujú obdĺžnik.

 

2) Zostrojte nasledujúce štvoruholníky:

a)   štvorec ABCD, ak½AC½= 5 cm

b)  obdĺžnik ABCD, ak ½AC½= 6 cm, ½AB½= 4 cm

c)   kosodĺžnik ABCD, ak ½AB½= 5 cm, ½BD½= 6 cm, ½AC½= 3 cm

d)  kosoštvorec ABCD, ak ½AB½= 4 cm, ½AC½= 6 cm

e)   lichobežník ABCD, ak ½AB½= 6 cm, ½BC½= 4 cm,½CD½=½AD½= 3 cm

 

3) Rozhodnite, ktoré z nasledujúcich tvrdení sú rovnocenné:

 

       A  Štvoruholník ABCD je kosoštvorec

 

       B  Štvoruholník ABCD je rovnobežník, ktorému sa dá opísať kružnica.

 

       C  Štvoruholník ABCD je rovnobežník, ktorému sa dá vpísať kružnica.

 

       D  Štvoruholník ABCD má kolmé uhlopriečky

 

       E  Štvoruholník ABCD rozdeľujú jeho uhlopriečky na 4 zhodné trojuholníky

 

       F  Obsah štvoruholníka ABCD sa rovná polovici súčinu uhlopriečok.

 

 

4) Ak ABCD je ľubovoľný konvexný štvoruholník a ak označíme P, Q, R, S (postupne po rade) stredy jeho strán AB, BC, CD, DA, tak štvoruholník PQRS:

            A   nikdy nie je rovnobežník

            B   je určite rovnobežník

            C   môže, ale nemusí byť rovnobežník

            D   je určite obdĺžnik alebo štvorec

            E   je určite rovnobežník, ale nemôže to byť obdĺžnik

 

5) Uhlopriečky štvoruholníka ABCD sa rozpoľujú (majú spoločný stred) a sú na seba kolmé. Z toho vyplýva, že štvoruholník ABCD je

            A   štvorec alebo obdĺžnik, pričom oboje je možné

            B   určite štvorec

            C   určite kosoštvorec

            D   štvorec alebo kosoštvorec, pričom oboje je možné

            E   kosodĺžnik alebo kosoštvorec, pričom oboje je možné

 

8.1.14 Aktívne ovládať pojmy mnohouholník, počet uhlopriečok, pravidelný n-uholník, súčet vnútorných uhlov

 

1) Koľko uhlopriečok má n-uholník? Riešte pre n Î {5, 6, 10, 12}.

 

2) Vypočítajte súčet vnútorných a súčet vonkajších uhlov n-uholníka.

 

3) Určte šírku otvoru kľúča na šesťhranné matice, ak poznáme polomer r kružnice "opísanej" matici.

 

4) Pomocou uhlomera vpíšte do danej kružnice pravidelný n-uholník. Riešte pre:

a) n = 5                                          b) n = 10                                            c) n = 15

 

5) Bez uhlomera zostrojte pravidelný

a) 8-uholník                        b) 12-uholník

s obvodom 24 cm.

 

8.1.15 Aktívne ovládať pojmy kružnica, kruh, tetiva, oblúk, odsek, výsek, medzikružie

 

1) Daná je kružnica k(S, r) a bod M ležiaci vo vnútri kružnice k. Zostrojte tetivu kružnice k, ktorá je bodom M rozpolená.

 

2) Určte priemer kruhu, ktorého obvod má dĺžku 10 m.

 

3) Daná je kružnica k(S, 4 cm) a bod O vo vnútri kružnice k tak, že |OS| = 1,5 cm. Zostrojte všetky kružnice so stredom O, ktoré sa dotýkajú kružnice k.

 

4) Vypočítajte obsah podložky pod maticu (tvaru medzikružia) s vonkajším priemerom 2,5 cm a vnútorným priemerom 1 cm.

 

5) Body A, B, C ležiace na kružnici k(S, r = 6 cm) delia kružnicu na tri oblúky, ktorých dĺžky sú v pomere 1 : 2 : 3. Vypočítajte:

a) obsahy kruhových výsekov príslušných k daným oblúkom,

b) obvody kruhových výsekov príslušných k daným oblúkom,

c) obsahy kruhových odsekov príslušných k daným oblúkom,

d) obvody kruhových odsekov príslušných k daným oblúkom.

 

8.1.16 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov odchýlka dvoch priamok, vzdialenosť bodu od priamky a vzdialenosť dvoch rovnobežiek

 

1) Určte odchýlky osí uhlov rovnoramenného trojuholníka, ktorého jeden uhol má veľkosť:

a) 70°                                                        b) 50°

 

2) Určte vzdialenosť strednej priečky a strany rovnostranného trojuholníka ABC, ak:

a) a = 9 cm                                                b) a = cm

 

3) Určte vzdialenosť ťažiska T a strany b trojuholníka ABC, ak:

a) b = 9 cm, S = 27 cm2                                       b) b = 6 cm, S = 27 cm2

 

4) V trojuholníku ABC je a > b. Dokážte, že os uhla g zviera s výškou vc uhol

 

 

8.1.17 Zistiť (vypočítať) obsahy a obvody trojuholníkov, štvoruholníkov, pravidelných n-uholníkov, kruhu a jeho častí

 

1) Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ak:

a) b = 5 cm, vb = 4 cm                                           b) a = 4 cm, b = 5 cm, g = 90°

c) a = b = c = 4 cm                                                d) a = 4 cm, b = 5 cm, g = 30°

 

2) Určte dĺžku strán obdĺžnika s obvodom 38 cm a obsahom 84 cm2.

 

3) Vypočítajte obsah kosoštvorca, ak je daná dĺžka strany a = 4,3 cm a polomer vpísanej kružnice r = 1,2 cm.

 

4) Výška a základne lichobežníka sú v pomere 2 : 3 : 5, jeho obsah je 512 cm2. Vypočítajte jeho výšku a dĺžky oboch základní.

 

5) Ak v trojuholníku ABC platí, že

                                  

tak môžeme s istotou tvrdiť, že trojuholník ABC je:

A  rovnostranný                                                     B  rovnoramenný s ramenami a, b

C  pravouhlý s preponou c                                     D  tupouhlý s tupým uhlom g

E  žiadna z možností A - D nie je správna, pretože daný vzťah platí v každom trojuholníku

 

8.1.18 Riešiť aplikované úlohy pomocou trigonometrie

 

1) Rozhodnite, či trojuholník so stranami 10, 12, 16 má tupý uhol.

 

2) Urči ostatné strany a uhly v trojuholníku ABC, ak:

a) a - b = 15, c = 26, g = 71°                               b) a = 5, b = 9, r = 6

c) r = 10, a = 113°, b = 48°                                 d) S = 84, b + c = 28, a = 60°

 

3) Aká vysoká je veža, ak vidíme jej pätu z okna umiestneného 15 m nad horizontálnou rovinou v hĺbkovom uhle 12°30¢ a jej vrchol vo výškovom uhle 25°20¢.

 

4) Kosoštvorec má obsah 150 cm2, pomer dĺžok uhlopriečok e :  f  = 3 : 4. Vypočítajte dĺžky uhlopriečok, strany a výšky.

 

5) Polomer kružnice vpísanej do pravidelného desaťuholníka je 8 cm. Vypočítajte dĺžku jeho strany, polomer kružnice opísanej, obsah a obvod.