7. POSTUPNOSTI

OBSAH

Postupnosť, spôsoby jej určenia (vrátane rekurentného). Monotónnosť, ohraničenosť a graf postupnosti, limita postupnosti (intuitívne).

Aritmetická a geometrická postupnosť, diferencia a kvocient, súčet prvých n členov postupnosti. Aplikácia poznatkov o postupnostiach pri riešení slovných úloh.

Nekonečný rad, čiastočný súčet, nekonečný geometrický rad a jeho súčet (intuitívne).

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

7.1. Charakterizovať na konkrétnych príkladoch obsah pojmu postupnosť a člen postupnosti, konečná a nekonečná postupnosť

7.2. Vysvetliť pomocou konkrétnych príkladov spôsoby určenia postupnosti (vzorcom pre n-tý člen i rekurentne)

7.3. Určiť ľubovoľný člen postupnosti a načrtnúť jej graf

7.4. Zistiť experimentálne a dôkazom potvrdiť (v jednoduchých prípadoch) hypotézy o monotónnosti a ohraničenosti daných postupností

7.5. Chápať pojem limita postupnosti a intuitívne rozhodnúť, či postupnosť má alebo nemá limitu

7.6. Rozhodnúť, či daná postupnosť je aritmetická, geometrická alebo iná

7.7. Aktívne ovládať základné vzťahy aritmetickej i geometrickej postupnosti

7.8. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov nekonečný rad a súčet nekonečného radu. V jednoduchých prípadoch určiť postupnosť čiastočných súčtov

7.9. Aplikovať poznatky o postupnostiach v praktických úlohách, poznať najmä aplikáciu geometrickej postupnosti v situáciách s pravidelným rastom či poklesom veličín (úrokovanie, pôžičky, splátky, ...)

 

 

7. Postupnosti

7.1.Charakterizovať na konkrétnych príkladoch obsah pojmu postupnosť a člen postupnosti, konečná a nekonečná postupnosť.

 

1a) Postupnosť je:

A   funkcia definovaná na množine všetkých prirodzených čísel alebo na množine typu {1, 2, 3, …, n}, kde n je prirodzené číslo

B   funkcia definovaná na množine všetkých prirodzených čísel

C   funkcia definovaná na množine všetkých celých čísel

D   funkcia definovaná na množine všetkých reálnych čísel

b) N-tý člen postupnosti  zapisujeme symbolom an. Tento symbol označuje:

A   hodnotu prirodzeného čísla n, ktorému v danej postupnosti prislúcha reálne číslo a  

B   hodnotu postupnosti prislúchajúcu prirodzenému číslu n

C   hodnotu postupnosti prislúchajúcu reálnemu číslu n

D   hodnotu reálneho čísla n, ktorému v danej postupnosti prislúcha prirodzené číslo a

  c) Každá postupnosť je:

A   konečná

B   nekonečná

C   buď konečná alebo nekonečná

 

2) Koľko rovnakých členov majú postupnosti {4 - n} a {4n - n4}, ak n je prirodzené číslo menšie ako päť?

 

3) Rozhodnite, či všetky členy postupnosti sú párne čísla.

 

4) Určte (2k - 1)-vý člen postupnosti .

 

5) Predstavme si párik králikov (samička a samček). Predpokladajme, že v prvom mesiaci života sa nemôžu rozmnožovať a dospejú ako dvojmesačné. Po druhom mesiaci samička každý mesiac vrhne nový párik. Každý párik sa rozmnožuje rovnakým spôsobom. Aký bude počet párov králikov na začiatku každého nasledujúceho mesiaca?

 

6) Napíšte prvých desať členov nekonečnej postupnosti k určenej takto:

                 kn = 0, ak n je prvočíslo

                 kn = 1, ak n nie je prvočíslo

 

7) Daná je postupnosť . Rozhodnite, ktoré z čísel 223, 289, 361, 1000 sú členmi tejto postupnosti.

 

7.2.Vysvetliť pomocou konkrétnych príkladov spôsoby určenia postupnosti (vzorcom pre n-tý člen i rekurentne).

        

1) Napíšte nasledujúce dva členy danej postupnosti a nájdite vyjadrenie pre n-tý člen.

a)  5, 10, 15, 20, ...                                                            b)  4, 7, 10, 13, ...

c)  1, , , , ...                                                            d) , , , , ...

e)  1, 2, 4, 8, ...                                                                  f)  , , , , ...

g) , , , , ...                                                       h) {1, 2, 4, 8, ..., 128, 256}               

i)

 

2) Postupnosť je daná rekurentným vzťahom a dvoma konkrétnymi členmi. Vypočítajte jej prvý a siedmy člen, ak an+2  = an+1 . an, a3 = 10, a4 = 102.

 

3) Napíšte prvých šesť členov postupnosti  určenej vzorcom pre n-tý člen:

a) an = 2n - 3                                                                    b) an = -n + 3

c) an = 2n - n                                                                     d) an = (-2)n

e)                                                                      f)  an = 2n - 3

 

4) Napíšte prvých šesť členov postupnosti , ak je postupnosť daná rekurentne:

a) a1 = -2, an+1 = 2an  - 1                                                  b) a1 = 7, an+1 = -an  + 3

c) a1 = 1, a2  = -2, an+1 = -2an  + an-1                                         d) a3 = 5, an+1 = an - 3

e) a3 = 0, a4 = -3, an+1 = an  + 2an-1                                          c) a1 = 1, a2  = 1, an+2 = an+1 + an

 

5) Čísla  možno považovať za prvé tri členy postupnosti:

A                                                                         B                                  

 

C                                                             D  

 

7.3.Určiť ľubovoľný člen postupnosti a načrtnúť jej graf.

 

1) Graficky znázornite prvých šesť členov postupnosti:

a) a1 = 1, a2 = -2, an+1 = -2an + an-1                                            b) a1 = 2, an+1 = 3 . an - 1     

 

2) Graficky znázornite niekoľko členov postupnosti .

 

3) Načrtnite graf postupnosti, ktorej členy sú celé kladné čísla dávajúce po delení 5 zvyšok 2.

 

4) Načrtnite graf ľubovoľnej nemonotónnej ohraničenej postupnosti.

 

7.4. Zistiť experimentálne a dôkazom potvrdiť (v jednoduchých prípadoch) hypotézy o monotónnosti a ohraničenosti daných postupností.

 

1) Daná je postupnosť  . Zistite, či je monotónna a rozhodnite o jej ohraničenosti.

 

2) Dokážte, že postupnosť  je rastúca a neohraničená.

 

3) Zistite, ktoré z nasledujúcich postupností sú rastúce a ktoré klesajúce:

a)                                                         b)

c)                                                       d)

e)                                                  f) 

 

4) Zistite, ktoré z nasledujúcich postupností sú ohraničené zhora, ktoré sú ohraničené zdola a ktoré sú ohraničené:

a)                                                         b)

c)                                                       d)

e)                                                  f) 

 

5a) Postupnosť

A   nie je ani rastúca ani klesajúca                         B   je rastúca a zhora neohraničená

C   je klesajúca a zdola ohraničená                       D   je klesajúca a zdola neohraničená

E   je rastúca a zhora ohraničená                          

b) Postupnosť

A   nie je ani rastúca ani klesajúca                         B   je rastúca a zhora ohraničená

C   je rastúca a zhora neohraničená                       D   je klesajúca a zdola ohraničená

E   je klesajúca a zdola neohraničená                   

c) Postupnosť  je rastúca vtedy a len vtedy, keď

A   > an+1                                         B   < an+1

C   > an+1                                                        D   < an+1

D   Ani jedna z možností A - D nie je správna

7.5.Chápať pojem limita postupnosti a intuitívne rozhodnúť, či postupnosť má alebo nemá limitu.

1) Určte také h Î R, aby v postupnosti  pre všetky n > h platilo½an - 2½< 10-2.

A   také h Î R neexistuje                                        B   h = 10-2

C   h = 1                                                                D   h = 10

 

2) Usúďte (napríklad dosadzovaním veľkých n Î N), ktorá z nasledujúcich postupností  je konvergentná a akú má limitu:

a) an = 2n                                                              b)

c)                                                         d)

e)                                               f)

g) an = 5                                                                h) an = 1 + (-1)n

i) an = 0,999n                                                         j) an = 1,0001n

 

3) Určte limity nasledujúcich postupností:        

a)                                                    b)

c)

 

4) Určte limity nasledujúcich postupností:

a)                                                       b)

c)                                                             d)

 

5) Postupnosť  je daná rekurentne:

Počínajúc ktorým členom tejto postupnosti platí pre všetky ďalšie členy, že sú menšie ako jedna tisícina?

A   počínajúc 29. členom                                        B   počínajúc 30. členom

C   počínajúc 31. členom                                        D   počínajúc 32. členom

E   počínajúc 33. členom                                        F    taký člen neexistuje

 

7.6. Rozhodnúť či daná postupnosť je aritmetická, geometrická alebo iná.

 

1) Ktorá z uvedených postupností je aritmetická?

A                                          B          

C                                                     D 

E    1.2, 2.3, 3.4, 4.5, …

 

2) Čísla , ,  sú tri za sebou idúce členy istej postupnosti. Môže byť táto postupnosť aritmetická? A geometrická?

 

3) Nech  je ľubovoľná aritmetická postupnosť s diferenciou d ≠ 0. Ktorá z nasledujúcich rovností potom neplatí?

A                                                  B   

C                                                   D      

E   

 

4) Uvažujme o takejto postupnosti štvorcov: štvorec A2B2C2D2 má vrcholy v stredoch strán štvorca A1B1C1D1, štvorec A3B3C3D3 má vrcholy v stredoch strán štvorca A2B2C2D2 atď. Označme oi obvod štvorca AiBiCiDi. Postupnosť                                                                                  

A   je aritmetická s diferenciou

B   je aritmetická s diferenciou

C   je geometrická s kvocientom

D   je geometrická s kvocientom

E   nie je ani aritmetická ani geometrická                                                               

 

5) Uvažujme o takejto postupnosti štvorcov: štvorec A2B2C2D2 má vrcholy v stredoch strán štvorca A1B1C1D1, štvorec A3B3C3D3 má vrcholy v stredoch strán štvorca A2B2C2D2  atď. Označme Pi obsah štvorca AiBiCiDi. Postupnosť                                                                                  

A   je aritmetická s diferenciou

B   je aritmetická s diferenciou

C   je geometrická s kvocientom

D   je geometrická s kvocientom

E   nie je ani aritmetická ani geometrická                                                                          

 

7.7.Aktívne ovládať základné vzťahy aritmetickej i geometrickej postupnosti.

 

1) Napíšte prvé tri členy, desiaty a n-tý člen aritmetickej postupnosti, ak a1 = -20 a diferencia d = 3.

 

2) Nájdite súčet prvých 20-tich členov aritmetickej postupnosti s prvým členom 3 a diferenciou .

 

3) Nájdite nasledujúce súčty:

a) 5 + 9 + 13 + ... + 101                                                   b) 83 + 80 + 77 + ... + 5

c) (-17) + (-12) + (-7) + ... + 33                                     d) 1 + 1 + 1 + ... + 9

e)  -  + 1 - ... + 64                                                   f) 1000 + 200 + ... + 0,32

g) 2 - 3 + 4 - ... + 22

Určte aj počet sčítancov.

 

4) Nájdite súčet   +  + ... + 64 a určte počet jeho sčítancov.       

 

5) Určte súčet prvých k členov nasledujúcich postupností:

a) {100; 10; ...}, k = 7                                                     b) {1; - ; ...}, k = 6

c) {4; 11; 18;  ...}, k = 16                                               d) {3; 8; 12; ...}, k = 20

e) {19; 13; 7; ...}, k = 10                                                f) {-9; -1; +7; ...}, k = 8

g) {3; -6; 12; ...}, k =  n

 

7.8. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov nekonečný rad a súčet nekonečného radu. V jednoduchých prípadoch určiť postupnosť čiastočných súčtov.

 

1) Nájdite vyjadrenie nasledujúceho radu vo forme :

a)      5 + 7 + 9 + ... + 27

b)      5 + 7 + 9 + ... + 1001

c)      5 + 7 + 9 + ... + 27 + … + 1001 + …

d)      6 + 10 + 14 + ... + 50 + ...

e)      10 + 7 + 4 + ... - 50

f)         +  +  + ... +  

g)       +  +  + ... +

h)      18 - 6 + 2 - ...

i)        360 - 180 + 90 - ... + 5

Pokúste sa nájsť aj súčty jednotlivých radov.

 

2) Nájdite súčet prvých n členov geometrickej postupnosti . Koľko členov musíme sčítať, aby bol súčet väčší než w? Riešte, ak:

a)  = , w = 100                               b) a1 = 10, q = 1,5; w = 200

 

3) Určte súčet prvých k členov radu , ak k Î {1, 2, 3, 4, 102, 9875, 106, n}.

 

4) Určte súčet prvých k členov radu , ak k Î {1, 2, 3, 4, 102, 106, n}.

 

5) Určte súčet prvých k členov radu 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) + …, ak k Î {3, 4, 102, n}. Dokážte, že tento súčet je vždy druhou mocninou prirodzeného čísla.

 

7.9. Aplikovať poznatky o postupnostiach v praktických úlohách, poznať najmä aplikáciu geometrickej postupnosti v situáciách s pravidelným rastom či poklesom veličín (úrokovanie, pôžičky, splátky, …)  

 

1) Teplota Zeme rastie smerom do jej stredu o l°C na 33 m. Aká je teplota na dne 1015 m hlbokej šachty, ak je v hĺbke 25 m teplota 9°C?

 

2) Koľko korún stojí vykopanie 11 m hlbokej studne, keď za vykopanie prvého metra zaplatíme 10,- Sk a za vykopanie každého ďalšieho metra dvakrát toľko ako za vykopanie predchádzajúceho metra?

 

3) Rýchlosť šírenia zvuku vo vzduchu pri 0°C je približne 331 m.s-1. S rastúcou teplotou rýchlosť vzduchu spojite a rovnomerne rastie; ak teplota stúpne o 1°C, rýchlosť sa zvýši o 0,6 m.s-1. Aká je rýchlosť zvuku pri 5°C?

 

4) Polčas premeny rádia C (RaC) je približne 20 minút. Začiatočná hmotnosť rádia C sú 3 mg. Viete vypočítať aká bude jeho hmotnosť o 2 hodiny? (Polčasom premeny nazývame dobu počas ktorej sa premení polovica začiatočnej hmotnosti rádioaktívnej látky.)

 

5) V meste Alokš žilo na začiatku roka 1995 23 600 obyvateľov. Asi koľko obyvateľov bude mať toto mesto na začiatku roka 2000, ak sa ročný prárastok odhaduje na 1,8 %?

 

6) Aký základný vklad treba deponovať v banke, aby po desiatich rokoch zloženého úrokovania (ročne 2,5 %) dosiahla výsledná našetrená suma výšku 100 000 Sk alebo prekročila túto sumu maximálne o 1000 Sk.