12. ŠTATISTIKA A PRAVDEPODOBNOSŤ

OBSAH

Štatistický súbor, znak, rozsah súboru, absolútna a relatívna početnosť. Priemerná hodnota, aritmetický, geometrický, harmonický a vážený priemer. Modus, medián, rozptyl, smerodajná odchýlka. Tabuľka rozdelenia početnosti, histogram.

Jav, pravdepodobnosť javu, náhodný, istý, nemožný a opačný jav.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

12.1. Charakterizovať na konkrétnych príkladoch pojmy štatistický súbor, štatistická jednotka a znak. Určiť rozsah daného štatistického súboru

12.2. Vykonať triedenie štatistického súboru podľa daného znaku. Určiť absolútne a relatívne početnosti znakov (tried) a zostaviť tabuľku početnosti. Graficky znázorniť rozdelenie početnosti

12.3. Vypočítať priemer, vážený priemer, modus, medián, rozptyl a smerodajnú odchýlku. Určiť geometrický priemer.

12.4. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov náhodný jav, istý jav, nemožný jav, opačný jav

12.5. Aplikovať základný vzorec na výpočet pravdepodobnosti pre javy, ktorých počet je možné určiť jednoduchým výpočtom alebo kombinatorickou úvahou

12. Štatistika a pravdepodobnosť

12.1 Charakterizovať na konkrétnych príkladoch pojmy štatistický súbor, štatistická jednotka a znak. Určiť rozsah daného štatistického súboru.

1) Akými rôznymi spôsobmi možno celok, ktorí tvorí obyvateľstvo SR, rozdeliť na jednotky? Jednotkou tu môže byť napr. rodina. Vymenujte ďalšie možné jednotky, ktoré sú buď menšie alebo väčšie než rodina.

2) Aké znaky by ste zvolili pri pri prieskume kultúrnych (alebo technických) záujmov žiakov? Každý takýto znak bude určený vhodne formulovanou otázkou, ako napr.: Chodíte aspoň raz mesačne do divadla? Ktoré literárne časopisy čítate? a pod. Určte iné takéto znaky a vypíšte hodnoty, ktoré môžu nadobudnúť.

3) V súbore, ktorého jednotkami sú žiaci vašej triedy, urobte štatistický výskum, určte rozsah tohto súboru a zistite hodnoty týchto znakov: známka z matematiky pri poslednej klasifikácii, výška postavy, váha (hmotnosť), nosí okuliare (áno - nie).

4) Vláda na svojom zasadnutí prerokovala štatistiku dopravných nehôd na cestách SR v 4. štvrťroku roku 1996. Charakterizujte na tomto príklade pojmy štatistický súbor, štatistická jednotka a znak. Určte aj niekoľko konkrétnych znakov, ktoré sa v tejto štatistike môžu vyskytovať.

5) V istej škole sa zisťovalo, koľko žiakov navštevuje vyučovanie anglického, nemeckého a ruského jazyka. Výsledky sú v nasledujúcej tabuľke.

jazyk	A	N	R
počet žiakov	176	105	39

Určte rozsah tohto súboru i jeho znaky.

12.2 Vykonať triedenie štatistického súboru podľa daného znaku. Určiť absolútne a relatívne početnosti znakov (tried) a zostaviť tabuľku početnosti. Graficky znázorniť rozdelenie početnosti

1) Slabiky slovenského jazyka sú foneticky rozlišované podľa toho, ako sú v nich uložené vedľa seba samohlásky a spoluhlásky. Jednotlivé druhy slabík sa označujú symbolmi

ba, bba, bab, bbab, a, ...,

kde písmeno a zastupuje ľubovoľnú samohlásku a písmeno b ľubovoľnú spoluhlásku.

V nasledujúcej tabuľke je uvedené rozdelenenie početností v súbore slabík vybratých z veršov básnikov Hrubína, Halasa a Nezvala a roztriedených podľa fonetického typu.

Druh slabiky	Početnosť
ba	686
bba	213
bab	175
bbab	66
a	52
bbba	30
ab	10
bbbab	7
babb	6
bbabb	2
bbbbab	2
bbbbab	1

Určte rozsah tohto súboru a relatívne početnosti jednotlivých znakov (tried). Rozdelenie početnosti znázornite graficky.

2) V tabuľke je uvedené rozdelenie početností žiakov v jednej triede podľa prospechu.

Prospech	Početnosť
Prospel s vyznamenaním	7
Prospel bez vyznamenania	14
Neprospel	3
Nebol klasifikovaný	1

Určte rozsah tohto súboru a relatívne početnosti jednotlivých znakov (tried). Rozdelenie početnosti znázornite graficky.

3) V tabuľke je uvedené rozdelenie početností žiakov v jednej triede podľa známky z matematiky.

Známka	Početnosť
1	5
2	13
3	17
4	6
5	2

Určte rozsah tohto súboru a relatívne početnosti jednotlivých znakov (tried). Rozdelenie početnosti znázornite graficky.

4) Pri zisťovaní veku poslucháčov jednej študijnej skupiny na vysokej škole boli zistené tieto hodnoty: 18, 19, 18, 18, 19, 18, 20, 21, 20, 21, 22, 22, 18, 18, 18, 19, 19, 18, 19, 20. Určte rozsah súboru, zostavte tabuľku rozdelenia početnosti jednotlivých hodnôt znaku "vek" a určte relatívnu početnosť pre hodnotu 18. Rozdelenie početnosti znázornite graficky.

5) V predajni pánskej obuvi zaznamenávali veľkosti predaných párov počas dňa s týmto výsledkom: 41, 41, 41, 42, 42, 41, 39, 41, 37, 41, 45, 41, 42, 38, 40, 39, 38, 41, 41, 38, 42, 39, 44, 43, 43, 44, 39, 39, 43, 43, 40, 42, 43, 41, 41, 43, 40, 40, 40, 42, 42, 42, 41, 40, 42. Určte rozsah súboru, absolútne a relatívne početnosti znaku "veľkosť". Relatívnu početnosť vyjadrite aj v percentách. Rozdelenie početnosti znázornite graficky.

12.3 Vypočítať priemer, vážený priemer, modus, medián, rozptyl a smerodajnú odchýlku. Určiť geometrický priemer

1) Výkon gymnastky na bradlách ohodnotilo 5 rozhodcov týmito známkami: 9,1; 9,5; 8,9; 9,2; 9,2. Aké je jej priemerné hodnotenie vypočítané z troch prostredných známok (najvyššia a najnižšia známka sa do hodnotenia nezapočitáva)?

2) Súborom je 20 členov družstva, znakom ich ročný príjem (v tisícoch Sk), rozdelenie početností je v tabuľke. Určte priemerný mesačný príjem člena družstva, modus a medián.

ročný príjem	30	40	50	60	70	84
početnosti	1	6	6	5	1	1

3) Určte geometrický priemer čísel:

a) 2, 9, 12

b) 25, 8, 10, 5

4) Priemerný výnos ovsa z 1 ha pozemku v podhorskej oblasti je na pozemku 1. druhu 2,2 t, na pozemku 2. druhu 2,1 t a na pozemku 3. druhu 2 t.

a) Určte priemerný výnos zo všetkých troch pozemkov, ak majú rovnakú rozlohu.

b) Aký bude priemerný výnos, ak 150 ha pozemkov je 1. druhu, 80 ha 2. druhu a 20 ha 3. druhu?

5) Pri príprave čajovej zmesi zmiešali 5 kg čaju v cene 150 Sk za kilogram a 15 kg čaju po 90 Sk za kilogram. Aká by mala byť cena 1 kg zmesi?

6) Určte priemerný obsah AgBr (v percentách) vo fotografických roztokoch a vypočítajte smerodajnú odchýlku. Obsah AgBr v 8 kontrolných roztokoch je v tabuľke:

Číslo roztoku	1	2	3	4	5	6	7	8
Obsah AgBr v %	38,25	40,42	40,35	38,62	37,10	40,55	37,23	39,84

12.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov náhodný jav, istý jav, nemožný jav, opačný jav

1) Z triedy s 28 žiakmi majú byť lósom určení 4 žiaci, ktorí sa podrobia istému psychologickému testu. Určte počet možných výsledkov losovania.

2) V rodinách s 3 deťmi zisťujeme pohlavie detí. Vymenujte všetky možné výsledky, ak záleží na poradí detí podľa veku.

3) Hádžeme trikrát 2 Sk mincou. Vymenujte výsledky priaznivé nasledujúcim javom:

A "padne práve raz Venuša"

B "padne najviac raz znak SR"

C "padne trikrát tá istá strana mince"

D "padne aspoň dvakrát znak SR"

Ktoré javy sa navzájom vylučujú? Určte opačný jav k javu D.

4) Študent si má vytiahnuť 3 z 10 otázok. Je pripravený odpovedať na 5 otázok. Aký je počet všetkých priaznivých výsledkov javu

a) A - "študent si vytiahne práve jednu otázku, ktorú vie",

b) B - "študent si nevytiahne ani jednu otázku, ktorú vie".

5) Pre ľubovoľné javy A, B vyjadrite množinovou symbolikou, že:

a) nastali oba javy

b) nastal práve jeden z týchto javov

c) nenastal žiadny jav

d) nastal najviac jeden z týchto javov

e) nastal aspoň jeden z týchto javov

6) Náhodne vybraný výrobok môže byť prvej, druhej alebo tretej akosti. Označme javy:

A - vybraný výrobok je 1. akosti

B - vybraný výrobok je 2. akosti

C - vybraný výrobok je 3. akosti

Interpretujte (slovami opíšte) javy:

a) A È B b) (A È C)¢ c) (A Ç B) È C

12.5 Aplikovať základný vzorec na výpočet pravdepodobnosti pre javy, ktorých počet je možné určiť jednoduchým výpočtom alebo kombinatorickou úvahou

1) Zo 100 súčiastok, medzi ktorými je 15 nepodarkov, vyberáme na kontrolu 10. Ukázalo sa, že prvých 8 vybraných súčiastok bolo kvalitných. Aká je pravdepodobnosť, že aj deviata súčiastka bude kvalitná?

2) V zozname detí narodených v pôrodnici v Modre bolo uvedených 21 chlapcov a 19 dievčat. Aká je pravdepodobnosť, že na prvých piatich miestach tohto zoznamu budú:

a) len dievčatá,

b) dvaja chlapci a tri dievčatá,

a) aspoň traja chlapci?

3) Hádžeme dvoma kockami, bielou a čiernou.

a) Aká je pravdepodobnosť javu "padne súčet 7"?

b) Aká je pravdepodobnosť javu "padne súčet 11"?

4) 40 študentov budeme testovať a máme ich náhodne rozdeliť na 4 rovnako početné skupiny. Medzi študentami je aj Katka a Matej. Aká je pravdepodobnosť, že budú zaradení do tej istej skupiny?

5) Je pri hode 3 kockami pravdepodobnejší súčet 11 (jav A), či súčet 12 (jav B)?

6) Strelec strieľa so spoľahlivosťou (čiže s pravdepodobnosťou zásahu) 0,9. Aká je pravdepodobnosť, že prvou ranou nezasiahne cieľ?