4.1 Všeobecné vedomosti

4.1.1 Ovládať pojmy neznáma, koeficient, obor rovnice, obor nerovnice, množina všetkých koreňov

4.1.2 Vysvetliť, aký je rozdiel medzi dôsledkovou a ekviva­lentnou úpravou rovnice a nerovnice

4.1.3 Uplatniť poznatok, že pri dôsledkovej úprave je skúš­ka súčasťou riešenia

4.1.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu para­meter v rovnici a nerovnici, vyriešiť jednoduchú rovnicu a nerovnicu s jedným parametrom, vykonať disku­siu riešenia vzhľadom na parameter

4.1.5 Vykonať rozbor slovnej úlohy vedúcej k rovniciam, ne­rovniciam a ich sústavám (matematizácia slovnej úlohy), overiť výsledky a interpretovať ich s ohľadom na pôvodnú úlohu

4.1.6 Použiť metódu substitúcie pri riešení rovníc i nerovníc

 

4. Rovnice  a nerovnice

4.1.1.  Ovládať pojmy neznáma, koeficient, obor rovnice, obor nerovnice, množina všetkých koreňov

 

 

1) Zvoľte neznáme a zapíšte pomocou nich

a) tretiu mocninu rozdielu ľubovoľných dvoch reálnych čísiel

b) rozdiel tretích mocnín ľubovoľných dvoch reálnych čísiel

c) päťnásobok súčtu tretích mocnín ľubovoľných dvoch reálnych čísiel

d) súčet tretích mocnín päťnásobkov ľubovoľných dvoch reálnych čísiel

 

2) Odpovedzte na otázky:

a) Ak je n ľubovoľné celé číslo, tak 2n je párne číslo. Ktoré párne číslo nasleduje hneď za ním?

b) Ak je k ľubovoľné prirodzené číslo, tak 2k + 1 je nepárne číslo. Ktoré nepárne číslo nasleduje hneď za ním?

 

3) Rozhodnite, či existuje aspoň jedno prirodzené číslo x, pre ktoré platí:

a)   

b)  

 

4) Množina Určte všetky prvky tejto množiny, pre ktoré má daný výraz zmysel.

a)                               b)                   c)  je celé číslo.

 

Vo všetkých prípadoch určte aj korene z množiny M. Úlohu riešte i v prípade, ak obor neznámej je množina reálnych čísiel.

 

5) Nájdite množinu všetkých koreňov rovnice 3x2 + x - 10 = 0, ak obor premennej je

a)    množina všetkých reálnych čísiel R,

b)   množina celých čísiel Z,

c)    množina prirodzených čísiel N.

 

4.1.2.Vysvetliť, aký je rozdiel medzi dôsledkovou a ekvivalentnou úpravou rovnice a nerovnice.

 

1) Zistite, či rovnice R1 a R2 sú ekvivalentné (t.j. majú tú istú množinu koreňov).

R1 :  5.(x + 3) = 3x - 7.(3 + x)

R1 :  x = - 4

 

2) Určte obor premennej tak, aby rovnice R1 a R2 boli ekvivalentné.

R1 :  (x - 1) = 3

R2 :  (x - 1)2 = 9

Akú úpravu rovnice R1 sme použili, aby sme získali tvar R2?

 

3) Koľko koreňov má rovnica ?

 

4) Dokážte, že pre každé nezáporné reálne číslo platí: Ak , tak x = 1.

 

5) Nájdite všetky reálne čísla x, ktoré vyhovujú sústave:

a)  3x - 7 8x + 5                        b) 2x - 7 > 7x - 2                              c) 5 - 7x < 3x + 2

3x + 5 = 5 + 3x                              6 - x = 2(x - 3) - 5                          7 - 5x > 3 + 2x

 

4.1.3.  Uplatniť poznatok, že pri dôsledkovej úprave je skúška súčasťou riešenia.

 

1) Riešte rovnicu v množine reálnych čísiel:

a)                           b)

 

2) Dokážte, že existuje jediné reálne číslo x, pre ktoré platí:

a)                b)

 

3) Dokážte, že dané rovnice nemajú v R koreň:

a)                           b)

c)                    d)

 

 

 

 

4.1.4.Vysvetliť obsah pojmu parameter, vyriešiť jednoduchú rovnicu a nerovnicu s jedným parametrom, vykonať diskusiu riešenia vzhľadom na parameter.

 

1) Riešte v R rovnicu s neznámou x a parametrom

a) (b2 - 1) x = b - 1                       b) 5x - 2 = bx - b

c) b2 x + 1 = x + b                                    d) b(x - 1) = x + b

 

2) Vyriešte v R rovnicu  

a)    s neznámou u a parametrom v

b)   s neznámou v a parametrom u

 

3) Riešte v R nerovnicu s neznámou x a parametrom

a)                                      b)                           c)                           d)                    e)

 

4) Pre ktoré čísla b má rovnica 7x + b = 0 s neznámou x riešenie v obore:

a)    prirodzených čísiel,

b)   celých čísiel,

c)    reálnych čísiel ?

 

5) Pre ktoré celé čísla a má rovnica (a2 - 1) x = a - 1 s neznámou x riešenie v obore prirodzených čísiel?

 

4.1.5.  Vykonať rozbor slovnej úlohy vedúcej k rovniciam, nerovniciam a ich sústavám, (matematizácia slovnej úlohy), overiť výsledky a interpretovať ich s ohľadom na pôvodnú úlohu.

 

V daných slovných úlohách:

1.   Zvoľte neznámu a jej obor.

2.   Pomocou reálnych čísiel a premenných zapíšte výrazy, ktoré vyjadrujú jednotlivé podmienky, obsiahnuté v texte úlohy.

3.   Vyhľadajte výrazy, ktoré vyjadrujú rovnaký údaj, potom

a)        zapíšte rovnosť výrazov (dostanete rovnicu)

b)        porovnajte výrazy (dostanete nerovnicu)

4.   Sformulujte a vyriešte matematickú úlohu, ktorú máte vyriešiť.

5.   Preverte, či riešenie matematickej rovnice (nerovnice) spĺňa podmienky slovnej úlohy.

 

 


1) Čitateľ zlomku je o 2 menší jako menovateľ. Ak sa čitateľ zmenší na svoju tretinu a k menovateľovi pripočítame 3, dostaneme . Nájdite pôvodný zlomok.

 

2) V konvexnom mnohouholníku sme zostrojili všetky možné uhlopriečky. Koľko strán má mnohouholník, ak uhlopriečok je 14?

 

3) Jedna strana trojuholníka má dĺžku 4 cm, súčet dĺžok zvyšných dvoch strán je 12 cm. Nájdite všetky možné celočíselné dĺžky týchto strán.

 

4) Ak zväčším priemernú rýchlosť o 10 km/h, prejdem vzdialenosť 315 km o 2 hodiny skôr. Akou priemernou rýchlosťou idem?

 

5) Hokejové mužstvo má pred posledným zápasom súťaže pomer gólov 65 : 157. V súťaži sa môže zachrániť remízou alebo víťazstvom, ak dosiahne lepší pomer gólov ako 3 : 7. Určte všetky remízové výsledky, ktoré zaistia mužstvu ďalšiu účasť v súťaži.

 

4.1.6.  Použiť metódu substitúcie pri riešení rovníc i nerovníc.

 

1) Metódou substitúcie riešte v R rovnice:

a)  x4 - 14x2 + 45 = 0                    b)  x6 - 28x3 + 27 = 0

c)            d)

e)

 

2) Vhodnou substitúciou riešte v R rovnice:

a)                            b)

c)

 

3) Metódou substitúcie riešte v R rovnice:

a)               b)

c)                  d)

 

4) Metódou substitúcie riešte v R rovnice:

a) tg                       b)  2. sin

c) 2.sin2x + sin x = 1                      d)  tg x + cotg x =  + 1