9. STEREOMETRIA

OBSAH

Základné útvary v priestore, bod, priamka, rovina, vzájomná poloha dvoch priamok, rovnobežnosť priamok, vzájomná poloha priamky a roviny, dvoch rovín, vzájomná poloha troch rovín.

Základy voľného rovnobežného premietania.

Kolmosť, priamka kolmá na rovinu, kolmosť rovín.

Telesá, hranol, kolmý hranol, ihlan, štvorsten, pravi­delné a rotačné telesá (valec, kužeľ, guľa).

Vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť bodu od priam­ky.

Odchýlka dvoch priamok, kolmý priemet priamky do rovi­ny, odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín, kolmosť rovín.

Objemy a povrchy hranatých aj rotačných telies, vlast­nosti objemu.

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

9.1. Polohové vlastnosti priamok a rovín

9.1.1 Vymenovať základné geometrické útvary v priestore (bod, priamka, rovina) a definovať vzťahy medzi nimi

9.1.2 Aktívne ovládať základné stereometrické vety

9.1.3 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch priamok

9.1.4 Klasifikovať vzájomnú polohu priamky a roviny

9.1.5 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch rovín

9.1.6 Klasifikovať vzájomnú polohu troch rovín

9.1.7 Využiť základné vety stereometrie a poznatky o vzájomnej polohe priamok a rovín pri konštrukcii priesečnice dvoch rovín, priesečníka priamky s rovinou, pri konštrukcii rovinného rezu hranola a ihlana i pri konštrukcii priesečníka priamky a hranola

 

9.2. Metrické vlastnosti priamok a rovín

9.2.1 Definovať kolmosť priamok a rovín. Rozhodnúť o kolmosti priamok a rovín použitím kritérií o kolmosti

9.2.2 Definovať a na konkrétnych príkladoch demonštrovať obsah pojmov odchýlka dvoch priamok, odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín. Určiť (konštrukčne aj výpočtom) a znázorniť v jedno­duchých prípadoch odchýlky priamok a rovín.

9.2.3 Definovať a na konkrétnych príkladoch demonštrovať obsah pojmov vzdialenosť bodu od priamky, vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín. Určiť (konštrukčne aj výpočtom) a v jednod­uchých prípadoch aj znázorniť tieto vzdialenosti.

9.2.4 Zostrojiť skutočnú veľkosť rovinného rezu kolmého hranola a pravidelného ihlana

 

9.3. Mnohosteny a rotačné telesá

9.3.1 Zobraziť jednoduché telesá vo voľnom rovnobežnom premietaní

9.3.2 Charakterizovať základné mnohosteny a rotačné telesá (kocka, kváder, hranol, ihlan, zrezaný ihlan, rotačný valec, kužeľ, zrezaný kužeľ, guľa, guľová plocha a jej časti - odsek, výsek, vrstva, vrchlík, pás)

9.3.3 Zhotoviť siete a modely kocky, kvádra, pravidelného hranola a ihlana, rotačného valca a kužeľa

9.3.4 Vypočítať objem a povrch kocky, kvádra, hranola, ihlana, rotačného valca a kužeľa, zrezaného ihlana a kužeľa, gule a jej častí

 

9. Stereometria

9.1.1 Vymenovať základné geometrické útvary v priestore (bod, priamka, rovina) a definovať vzťahy medzi nimi.

 

1)      Daná je kocka ABCDEFGH. Zistite, či

a) nasledujúce body ležia v jednej rovine: A, C, K, L, pričom K, L sú stredy hrán EF, FG

a)   nasledujúce body ležia v jednej rovine: B, H, P, Q, pričom P, Q sú stredy hrán AE, CG

c)  body E, B a priamka DH ležia v jednej rovine.

 

2) Daná je kocka ABCDEFGH. Určte:

a)      koľko priamok je určených jej vrcholmi

b)      aspoň 12 rovín určených jej vrcholmi

c)      aspoň 5 bodov roviny ABC

d)      aspoň 10 priamok roviny BCF

 

3) Daná je kocka ABCDEFGH. Určte:

a)       aspoň 7 bodov na povrchu kocky, ktoré neležia na priamke BE

b)      aspoň 5 bodov na povrchu kocky, ktoré neležia v rovine BEH

 

4) Daná je kocka ABCDEFGH. Určte:

a)      aspoň 5 úsečiek, ktoré neležia na povrchu tejto kocky

b)      aspoň 8 priamok, ktoré neležia v rovine EFH

 

5) Daná je kocka ABCDEFGH. Uvedomte si, že úsečky, polpriamky, priamky i roviny sú množiny bodv a určte pravdivostné hodnoty nasledujúcich výrokov:

a)      bod D leží v rovine AEH

b)      úsečka CG neleží v rovine DCH

c)      priamka AE je prvkom roviny ABF

d)      priamka AE leží v rovine ABF

e)      roviny ABC a DCA sú totožné

f) body A, C, G, E ležia v jednej rovine

g)      stred úsečky FH leží v rovine DBF

h)      body B, D, C neležia v jednej rovine

i) priamka HD neleží v rovine DBF

j) bod E nie je bodom priamky BD

 

9.1.2 Aktívne ovládať základné stereometrické vety

 

1) Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov:

a)      Dvoma rôznymi bodmi prechádza jediná priamka

b)      Dvoma bodmi prechádza jediná priamka

c)      Dvoma rôznymi bodmi môžu prechádzať dve rôzne priamky

 

2) Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov:

a)      Ak ležia dva rôzne body v rovine, priamka nimi určená nemusí ležať v tejto rovine

b)      Ak ležia dva rôzne body v rovine, priamka nimi určená leží tiež v tejto rovine

c)      Ak ležia dva rôzne body v rovine, priamka nimi určená môže ležať tiež v tejto rovine

 

3) Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov:

a)      Priamkou a bodom, ktorý na nej neleží sú určené dve rôznobežné roviny

b)      Priamkou a bodom je určená jediná rovina

c)      Priamkou a bodom, ktorý na nej neleží, je určená jediná rovina

 

4) Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov:

a)      Tromi rôznymi bodmi prechádza jediná rovina

b)                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, môžu prechádzať tri rôzne roviny

c)      Tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, prechádza jediná rovina

 

5) Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov:

a)      Dve rôzne priamky, ktoré nemajú spoločný bod, sú mimobežky.

b)      Dve rôzne priamky, ktoré nemajú spoločný bod, sú rovnobežky.

c)      Dve priamky, ktoré nemajú spoločný bod, sú buď mimobežky alebo rovnobežky.

 

6) Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov:

a)      Ak majú dve rôzne roviny spoločný bod, tak majú aj spoločnú priamku, ktorá týmto bodom prechádza. Inak už nemajú spoločný žiaden ďalší bod.

b)      Ak majú dve roviny spoločný bod, tak majú aj spoločnú priamku, ktorá týmto bodom prechádza. Inak už nemajú spoločný žiaden ďalší bod.

c)      Ak majú dve rôzne roviny spoločný bod, tak majú aj spoločnú priamku, ktorá týmto bodom prechádza. Okrem tejto priamky môžu mať aj ďalší spoločný bod.

 

9.1.3 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch priamok

 

1) Daná je kocka ABCDEEFGH. Body U, V sú stredy hrán AE, CG. Dokážte, že priamky HU a BV sú rovnobežné.

 

2) Priamky MN, PQ sú mimobežné. Určte vzájomnú polohu priamok MQ, NP.

 

3) Daná je kocka ABCDEFGH.

a) Určte vzájomnú polohu priamky EH a spojnice stredov hrán BF a CG.

b) Určte vzájomnú polohu priamok PQ a RS, ak body P, Q, R, S sú stredy stien ADHE, ABFE, BCGF, CDHG.

 

4) Daná je kocka ABCDEFGH. Zistite:

a) koľko rôznych mimobežných priamok určujú vrcholy tejto kocky

b) koľko párov rôznobežných priamok určujú vrcholy tejto kocky

 

5) Body P, Q, R sú stredmi hrán GH, CG, CD kocky ABCDEFGH. Určte aspoň tri priamky, ktoré sú s priamkou EP

a) rovnobežné                                 b) rôznobežné                          c) mimobežné

 

 9.1.4 Klasifikovať vzájomnú polohu priamky a roviny

 

1) Predĺžte ľubovoľnú hranu kocky ABCDEFGH  a uveďte tie steny kocky, s ktorými je rovnobežná.

 

2) Priamka p je

a) rôznobežná                                                  b) rovnobežná

s rovinou r. Priamka q je ľubovoľná priamka roviny r. Aké vzájomné polohy môžu mať priamky p, q ?

 

3) Daná je kocka ABCDEFGH. Vymenujte všetky roviny, ktoré obsahujú bod H a ďalšie dva vrcholy kocky, ktoré sú s priamkou AB

a) rovnobežné                                                 b) rôznobežné

 

4) Vymenujte všetky priamky, ktoré prechádzajú bodom H a niektorým ďalším vrcholom kocky ABCDEFGH a ktoré sú s rovinou ABC

a) rovnobežné                                                 b) rôznobežné

 

5) Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov:

a)         Priamka a je rovnobežná s rovinou α práve vtedy, ak v rovine α existujú aspoň dve rôznobežky, ktoré sú rovnobežné s priamkou a

b)        Priamka a je rovnobežná s rovinou α práve vtedy, ak v rovine α existuje priamka, ktorá je rovnobežná s priamkou a

c)         Priamka a je rovnobežná s rovinou α práve vtedy, ak v rovine α existuje priamka, ktorá je rôznobežná s priamkou a

 

9.1.5 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch rovín

 

1) Koľko dvojíc navzájom rovnobežných rovín určujú vrcholy

a) kocky                                         b) kvádra                                c) rovnobežnostena

 

2) Daná je kocka ABCDEFGH. Každá trojica rôznych vrcholov určuje rovinu. Určte také dvojice rovín, ktorých prienikom je

a) prázdna množina             b) priamka                               c) rovina

 

3) Určte pravdivostné hodnoty nasledujúcich výrokov:

a) Pre každé dve roviny a, b platí: Ak prienikom dvoch rôznych rovín a, b je neprázdna množina, tým prienikom je priamka.

b) Pre každé dve roviny a, b platí: Ak rovina a obsahuje dve rôznobežky a, b, ktorých prienikom s rovinou b je prázdna množina, tak i prienikom rovín a, b je prázdna množina.

c) Pre každý bod A a pre každú rovinu a platí: Existuje práve jedna rovina b, ktorá obsahuje bod A a je rovnobežná s rovinou a.

 

4) Vymenujte všetky roviny, ktoré obsahujú bod H a ďalšie dva rôzne vrcholy kocky ABCDEFGH,  ktoré sú s rovinou ABC

a) rovnobežné                                 b) rôznobežné

 

5) Rovina r obsahuje dve rôzne rovnobežné priamky, ktorých prienik s rovinou s je prázdna množina. Sú roviny r, s rovnobežné?

 

9.1.6 Klasifikovať vzájomnú polohu troch rovín

 

1) Dané sú dve kocky so spoločnou stenou, ABCDEFGH a ABCDIJKL. Určte prienik každých dvoch z daných trojíc rovín, potom všetkých troch:

a) IJK, ABC, EFG                                     b) ABC, EFG, BCH

c) JKG, ABC, BCH                                   d) BCH, JKG, IJK

e) IJF, JKG, IJK

 

2) Dané sú tri rôzne roviny a, b, g. Nech a, b sú rôznobežné roviny, ktoré sa pretínajú v priamke c a nech priamka c pretína rovinu g v bode P. Dokážte, že v tomto prípade každé dve z rovín a, b, g sa pretínajú v priamke, ktorá prechádza bodom P.

 

3) Dokážte, že pre každé tri rôzne roviny a, b, g platí: Ak rovina g pretína dve rovnobežné roviny a, b, tak tieto priesečnice sú navzájom rovnobežné.

 

4) Určte na rovnobežnostene ABCDEFGH trojice rovín, z ktorých dve sú rovnobežné a tretia je s nimi rôznobežná. Určte aj trojicu rovín, z ktorých každé dve sú rôznobežné a priesečnice každých dvoch z uvažovaných rovín sú

a) rôznobežné                                                                                                                                                      b) rovnobežné a rôzne

c) splývajúce

 

5) Body K, L, M sú postupne stredy hrán AE, BF, CG kocky ABCDEFGH. Určte vzájomnú polohu, prípadne určte aj priesečnice rovín:

a) ABC, EFG, KLM                                                                                                                                     b) ADH, BCG, HKL

c) HEB, CFG, ABC                                                                                                                                     d) ELM, BCG, ABC

e) HMB, HDC, ABC

 

9.1.7 Využiť základné vety stereometrie a poznatky o vzájomnej polohe priamok a rovín pri konštrukcii priesečnice dvoch rovín, priesečníka priamky s rovinou, pri konštrukcii rovinného rezu hranola a ihlana i pri konštrukcii priesečníka priamky a hranola

 

1) Zostrojte rez kvádra ABCDEFFGH rovinou, ktorá prechádza priamkou BC a je rovnobežná s priamkou

a) CH                                                        b) CP

c) CQ.

Body P,Q sú postupne vnútorné body hrán AD a EH.

 

2) Daná je kocka ABCDEFGH . Zostrojte priesečnicu rovín

a)   ACG, AFH

b)  ACF, BEG

c)   BCG, AEO, bod O je stredom steny BCGF

d)  ABM, CDM, bod P je stredom hrany FG

e)   ACE, BHP, od P je stredom hrany FG.

 

3) Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV. Body M, N sú po rade stredy hrán BV a CV. Zostrojte priesečnicu rovín:

a) ACV, BDN                                            b) ABN, CDM

 

4) Daná je kocka ABCDEFGH. Zostrojte

a)   priesečníky priamok AR, EG a EC s rovinou BDH,

b)  priesečníky priamok FC, FD a CQ s rovinou BHP, body P, Q sú po rade stredy hrán AE a EH.

 

5) Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV, bod S je stredom jeho podstavy. Bod M leží na polpriamke BA, çBMç = 1,5. çABç, bod N je stred úsečky SV a bod P leží na úsečke OV, kde bod O je stred úsečky DS. Zostrojte prienik priamky

a) MN                                                        b) MP

s ihlanom.

 

6) Ktorý z útvarov „rovnostranný trojuholník, obdĺžnik, konvexný päťuholník, pravidelný šesťuholník, konvexný sedemuholník“ nemôže vzniknúť ako rez kocky rovinou?

 

 

9.2.1 Definovať kolmosť priamok a rovín. Rozhodnúť o kolmosti priamok a rovín použitím kritérií o kolmosti

 

1) Vrcholom E kocky ABCDEFGH veďte:

a)   priamku kolmú na rovinu AFH,

b)  rovinu kolmú na priamku DF.

 

2) Body K, L, M, N sú (postupne) stredy hrán EH, CD, AE, CG kocky ABCDEFGH. Overte kolmosť priamok a rovín:

a) HM, EF                                     b) MN, BH                              c) AL, BK

d) FH, ACG                                  e) LM, ACH                            f) AL, BFK

g) BCE , DGH                               h) ACK, BDH                         i) ALK, BDH

 

3) Bod M je stred hrany CV pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV. Overte kolmosť priamok a rovín:

a)   AC, BV                                     b) BM, CD                              c) AD, CDV

d) AM, BDV

 

4) Podstavou ihlana ABCDV je rovnobežník ABCD so stredom S. Bočné hrany ihlana majú rovnakú dĺžku. Dokážte, že priamka VS je kolmá na rovinu podstavy.

 

5) Body M, N sú stredmi hrán CD, AB pravidelného štvorstena ABCD. Dokážte, že

a) AMB ^ CD                                b) MN ^  AB a MN ^ CD      c) AB ^ CD               

 

9.2.2 Definovať a na konkrétnych pojmoch demonštrovať obsah pojmov odchýlka dvoch priamok, odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín. Určiť (konštrukčne aj výpočtom) a znázorniť v jednoduchých prípadoch odchýlky priamok a rovín.

 

1) Daný je kváder ABCDEFGH (½AB½= 5 cm, ½BC½= 3 cm, ½AE½= 7 cm). Určte odchýlku priamok:

a) AB, GH                                      b) BF, GH                              c) AB, EG

d) AB, CG                                     e) AE, BH                               f) AH, CF

g) AH, CH

 

2) Daná je kocka ABCDEFGH. Určte odchýlku rovín:

a) ABC, BDH                                 b) ABE, ABH                          c) ABC, BEG

 

3) Body M, N, L sú (postupne) stredy hrán BC, CD, CG kocky ABCDEFGH, bod P je bodom hrany BC, çBPç: çPCç = 1 : 4. Určte odchýlku roviny ABC a rovín:

a) MNG                                         b) BNL

Úlohu riešte výpočtom aj konštrukčne.

 

4) Výška pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV sa rovná dĺžke podstavných hrán. Vypočítajte odchýlku rovín dvoch

a)   protiľahlých stien                        b) susedných stien

 

5) Bod M je stred hrany VC pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV, v ktorom je AM ^ CV.

a)   Vypočítajte uhol priamok CV, AB.

b)  Graficky určte uhol priamok BM, AC

 

9.2.3 Definovať a na konkrétnych príkladoch demonštrovať obsah pojmov vzdialenosť bodu od priamky, vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín. Určiť (konštrukčne aj výpočtom) a v jednoduchých prípadoch aj znázorniť tieto vzdialenosti.

 

1) Daná je kocka ABCDEFGH, çABç= 6 cm. Vypočítajte çApç, ak p je priamka

a) DH                                             b) FG

c) FH                                             d) BM

kde M je stred hrany GH.

 

2) Hranol ABCDEFGH má rozmery çABç= çADç= a, çAEç= c. Určte vzdialenosť bodu A od roviny BDE.

 

3) Vypočítajte vzdialenosť vrcholu A pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV od priamky VC, ak çABç= a, çAVç= b.

 

4) Daná je kocka ABCDEFGH. Vypočítajte vzdialenosť rovín ACH a BGE, ak telesová uhlopriečka kocky má veľkosť u.

 

5) Daná je kocka ABCDEFGH. Vyjadrite pomocou uhlopriečky ½FD½ = u vzdialenosť bodu F od roviny ABG.

 

9.2.4 Zostrojiť skutočnú veľkosť rovinného rezu kolmého hranola a pravidelného ihlana

 

1)      Daná je kocka ABCDEFGH, ktorá má dĺžku hrany 5 cm. Body P, Q sú stredy jej hrán BC,

 

 

9.3.1 Zobraziť jednoduché telesá vo voľnom rovnobežnom premietaní

 

1) Zobrazte vo voľnom rovnobežnom premietaní:

a) kocku s hranou a = 6 cm 

b) kváder s hranami a = 5 cm , b = 4 cm, c = 8 cm

c) pravidelný trojboký hranol s hranou podstavy a = 3 cm a výškou v = 6 cm

d) pravidelný šesťboký hranol s hranou podstavy a = 4 cm a výškou v = 5 cm

e) pravidelný štvorboký ihlan s hranou podstavy a = 6 cm a telesovou výškou v = 6 cm

f) pravidelný štvorboký ihlan s hranou podstavy a = 4 cm a bočnou hranou b = 6 cm

g) pravidelný štvorsten s hranou a = 6 cm

h) pravidelný štvorboký zrezaný ihlan s hranami podstáv a = 6 cm, b = 4 cm a výškou

v = 5 cm

i) pravidelný osemsten s hranou a = 6 cm

 

2) Zobrazte vo voľnom rovnobežnom premietaní:

a) rotačný valec s polomerom podstavy r = 6 cm a telesovou výškou v = 6 cm

b) rotačný kužeľ s polomerom podstavy r = 4 cm a telesovou výškou v = 6 cm

c) rotačný kužeľ s polomerom podstavy r = 6 cm a bočnou hranou b = 10 cm

d) zrezaný rotačný kužeľ s polomermi podstáv r1 = 6 cm, r2 = 4 cm a výškou v = 5 cm

 

3) Do kocky ABCDEFGH vpíšte teleso, ktorého vrcholy sú stredy stien danej kocky.

 

4) Do pravidelného štvorstena ABCD vpíšte teleso tak, že jeho vrcholy sú ťažiská stien daného štvorstena.

 

5) Zobrazte vo vhodnej mierke glóbus s polomerom r = 30 cm a znázornite póly, ak sa rovník zobrazí

a) ako úsečka                                 b) ako elipsa                            c) ako kružnica

 

9.3.2 Charakterizovať základné mnohosteny a rotačné telesá (kocka, kváder, hranol, ihlan, zrezaný ihlan, rotačný valec, kužeľ, zrezaný kužeľ, guľa, guľová plocha a jej časti – odsek, výkrojok, vrstva, vrchlík, pás)

 

1) Určte počet, dĺžku a vlastnosti telesových uhlopriečok

a)   v kocke s hranou dĺžky a

b)  v kvádri s rozmermi a, b, c

c)   v pravidelnom osemstene

 

2) Vypočítajte Eulerovu charakteristiku telesa T, čiže číslo

                        e(T) = v(T) - h(T) + s(T)

kde v(T) je počet vrcholov telesa, h(T) počet hrán a s(T) je počet stien, pre

a)      kocku (hexaéder)

b)      pravidelný trojboký ihlan (tetraéder)

c)      pravidelný osemsten (oktaéder)

d)      pravidelný dvanásťsten (dodekaéder, každá jeho stena je pravidelný päťuholník)

e)      pravidelný dvadsaťsten (ikosaéder, každá jeho stena je rovnostranný trojuholník)

 

3) Ako sa nazýva teleso, ktoré vznikne

a)      otáčaním (rotáciou) obdĺžnika okolo jednej jeho strany

b)      otáčaním (rotáciou) pravouhlého trojuholníka okolo jednej jeho odvesny

c)      otáčaním (rotáciou) kružnice okolo jej ľubovoľného priemeru

d)      otáčaním (rotáciou) kruhu okolo priamky prechádzajúcej jeho stredom

e)      otáčaním (rotáciou) pravouhlého lichobežníka okolo kratšieho ramena

 

4) Ako sa nazýva prienik gule

a)      s polpriestorom, ktorého hraničná rovina obsahuje aspoň jeden vnútorný bod gule

b)      s vrstvou, ktorej obidve rovnobežné hraničné roviny obsahujú vnútorné body gule

c)      s rotačným kužeľom, ktorého hlavný vrchol je stred gule a ktorého podstava nepretína guľu

 

5) Ako sa nazýva prienik guľovej plochy

a)      s polpriestorom, ktorého hraničná rovina obsahuje aspoň dva rôzne body guľovej plochy

b)      s vrstvou, ktorej obidve rovnobežné hraničné roviny obsahujú aspoň dva rôzne body guľovej plochy

 

9.3.3 Zhotoviť siete a modely kocky, kvádra, pravidelného hranola a ihlana, rotačného valca a kužeľa

 

1) Sieť kocky sa skladá zo šiestich zhodných štvorcov. Usporiadajte 6 zhodných štvorcov tak, aby

a)      tvorili sieť kocky (prehnutím hrán sa dá zložiť kocka)

b)      netvorili sieť kocky                              

 

2) Zostrojte sieť

a)         pravidelného trojbokého ihlana (štvorstena, tetraédra)

b)        pravidelného osemstena (oktoédra)                             

 

3) Zostrojte sieť

a)      rotačného valca s polomerom podstavy r a výškou v

b)      rotačného kužeľa s polomerom podstavy r a výškou v

Poznámka: Uvedomte si, že dĺžku kružnice vieme zostrojiť len približne. Ako?                              

4) Zostrojte sieť pravidelného zrezaného šesťbokého ihlana s hranami podstáv a1, a2 a výškou v.

                       

5) Zostrojte sieť zrezaného rotačného kužeľa s polomermi podstáv r1, r2 a výškou v.

Poznámka: Uvedomte si, že dĺžku kružnice vieme zostrojiť len približne. Ako?                       

6) Z kocky ABCDEFGH odtneme roh pri vrchole A rovinou UVW (U je stred AB, V je stred AD, W je stred AE). Obdobne odtneme každý roh kocky. Novovzniknutý mnohosten, akýsi okyptená kocka, sa volá kubooktaéder – patrí medzi tzv. polopravidelné čiže archimedovské telesá. Zostrojte sieť kubooktaédra.

 

7) Z kocky ABCDEFGH odtneme každý roh tak, aby sme dostali „obsekanú kocku“, ktorej steny sú buď rovnostranné trojuholníky alebo pravidelné osemuholníky. Toto teleso patrí medzi tzv. polopravidelné čiže archimedovské telesá. Zostrojte sieť tejto „obsekanej kocky“.

 

9.3.4 Vypočítať objem a povrch kocky, kvádra, hranola, ihlana, rotačného valca a kužeľa, zrezaného ihlana a kužeľa, gule a jej častí

 

1) Guľa a kocka majú rovnaký povrch. Určte pomer ich objemov.

 

2) Guľa s polomerom 10 cm je osvetlená z bodu, ktorý je od stredu vzdialený 30 cm. Aká časť povrchu gule je v tieni ?

 

3) Rozmery kvádra ABCDEFGH sú v pomere 7 : 4 : 3, jeho uhlopriečka BG je 20. Určte objem tohto kvádra.

 

4) Ak predĺžime hranu kocky o 5 cm, zväčší sa jej objem o 485 cm3. Určte povrch pôvodnej i zväčšenej kocky.

 

5) Dutá kovová guľa má vonkajší priemer d = 40 cm. Určte jej hrúbku, ak má hmotnosť 25 kg. (Hustota kovu r = 8,45 g/cm3.)

 

6) Vypočítajte rozlohu pevniny Zeme – tvorí ju asi 30% všetkého povrchu.

 

7) Vypočítajte hmotnosť Zeme, ak jej hustota je 5,52 g/cm3.

 

8) Koľko percent zemského povrchu leží v pásme

a)           tropickom,

b)          miernom,

c)           arktickom?

Hranicu medzi pásmami tvoria rovnobežky 23°27¢ (obratníky) a 66°33¢ (polárne kruhy).

9) Tabaková firma NEFAJČI ozdobila svoj stánok na veľtrhu modelom cigarety v tvare valca, ktorého rozmery boli 20-násobkami rozmerov bežnej cigarety. Bežná cigareta obsahuje 0,8 mg nikotínu. Koľko nikotínu by obsahovala "obria" cigareta, keby bola naplnená tabakom?