3. TEÓRIA ČÍSEL

OBSAH

Prirodzené číslo a jeho zápis. Deliteľ, násobok, deli­teľnosť, znaky deliteľnosti, prvočíslo, zložené číslo, pr­vočíselný rozklad, najmenší spoločný násobok, najväčší spo­ločný deliteľ a vzťah medzi nimi, základné vlastnosti deli­teľnosti.

Množina prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísel. Základné operácie v jednotlivých číselných oboroch. Zobrazenie množiny reálnych čísel.

Mocniny s prirodzeným, celým, racionálnym a reálnym mocniteľom, odmocniny a základné pravidlá počítania s nimi.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

3. 1.  Rozoznať pojmy číslo a číslica (cifra)

3. 2.  Definovať deliteľnosť prirodzených čísel a overovať deliteľnosť konkrétnych čísel

3. 3.  Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu prvo­číslo, zložené číslo, deliteľ, násobok, súdeliteľné a nesúdeliteľné čísla, ciferný súčet

3. 4.  Sformulovať pravidlá deliteľnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 a 10

3. 5.  Aplikovať poznatky o deliteľnosti pri vytváraní prvo­číselných rozkladov zložených čísel využívajúc poznatok, že ak sa súčin deliteľov p1, p2 prirodzeného čísla n rovná tomuto číslu, tak aspoň jeden z deliteľov p1, p2  je    

3. 6.  Určiť najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ prirodzených čísel

3. 7.  Rozoznať na konkrétnych číslach konečný a nekonečný desatinný rozvoj reálneho čísla, nekonečný periodický rozvoj, racionálne a iracionálne číslo

3. 8.  Znázorniť reálne číslo na číselnej osi

3. 9.  Definovať racionálne číslo a zapísať ho aspoň dvoma spôsobmi

3.10. Napísať desatinné číslo v rozvinutom i skrátenom tva­re, určiť jeho rád

3.11. Definovať absolútnu hodnotu reálneho čísla a vysvetliť jej geometrický význam

3.12. Definovať mocninu s prirodzeným mocniteľom a dokázať základné pravidlá počítania s týmito mocninami

3.13. Definovať mocninu s celočíselným a racionálnym mocni­teľom

3.14. Definovať odmocninu a vysvetliť vzťah medzi mocninami a odmocninami

3.15. Riešiť jednoduché úlohy využívajúce operácie s mocni­nami s celočíselným, racionálnym i reálnym mocniteľom

 

 

 

 

 

 

 

3. Teória čísel

3.1. Rozoznať pojmy číslo a číslica (cifra)

 

1) Zapíšte rozvinutý zápis čísiel v desiatkovej sústave

a) 28                       b) 2001                       c) 3245

 

2) Zapíšte skráteným zápisom čísla:

a)    8.103 + 32.10 2 + 1.10 + 5

b)   3.105 + 2.102 + 3

c)    6.103 + 13.102

 

3) Určte ciferné súčty čísel:

a)    28

b)   2001

c)    3245

d)   8.103 + 32.10 2 + 1.10 + 5

e)    3.105 + 2.102 + 3

f)     6.103 + 13.102

 

4) Súčet číslic dvojciferného čísla je 7. Ak zameníme poradie oboch číslic, dostaneme číslo, ktoré po vynásobení pôvodným bude 1462. Ktoré je to číslo?

 

5) Ak zameníme poradie číslic istého dvojciferného čísla, dostaneme nové číslo, ktorého súčet s pôvodným číslom je 88 a rozdiel po odčítaní od pôvodného čísla je 36. Určte pôvodné číslo.

 

3.2. Definovať deliteľnosť prirodzených čísel a overovať deliteľnosť konkrétnych čísel

 

1) Dokážte, že číslo:

a)   95 - 35 je deliteľné 6

b)  710 - 1 je deliteľné 6

c)   12325 - 10625 je deliteľné 17

d)  6101 + 2101  je deliteľné 8

e)   1413 + 1 je deliteľné 15

f)    210 + 315  je deliteľné 31

 

2) Koľko deliteľov má číslo:

a) 3.13                    b) 32.13           c) 33.13           d) 34.13

e) 34.132                       f)3.133                 g) 34.134 ?

 

3) Zo 625 kociek s hranou dĺžky 2 cm sme vytvorili kváder. Aký môže mať povrch?

 

4) Koľko riešení má rovnica x . y = 12 s dvoma neznámymi v množine prirodzených čísel?

 

5) Koľko trojciferných čísel

a) je deliteľných 17

b) nie je deliteľných číslom 23?

 

3.3 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu prvočíslo, zložené číslo, deliteľ, násobok, súdeliteľné a nesúdeliteľné čísla, ciferný súčet.

 

1) Zapíšte prvočíselné rozklady čísel 80, 180, 644, 496, 5005.

 

2) Rozhodnite, čo najefektívnejšie, ktoré z daných čísel sú prvočísla:

a) 667             b)677              c) 439                  d) 1591               e) 4187

 


3)  Zapíšte v základnom tvare zlomky:

 


4) Pomocou definícií príslušných pojmov vysvetlite význam výrokov:

a)    101 je prvočíslo

b)   201 je zložené číslo

c)    301 nie je prvočíslo

d)   401 nie je zložené číslo

 

3.4. Sformulovať pravidlá deliteľnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 a 10

 

1) Rozhodnite o pravdivosti výrokov:

a)   Číslo 72 je deliteľné číslom 6.

b)  Číslo 74 je násobkom čísla 6.

c)   Číslo 13 je deliteľom čísla 10 296.

 

2) Rozhodnite, ktoré z daných čísel sú deliteľné číslami 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10:

a)   153                    b) 1460           c) 9078            d) 51 410

e)  536                    f)  1164           g) 6335

 

3) Aké číslice treba dať namiesto hviezdičiek, aby platilo

a)   číslo 34H5710 je deliteľné 3

b)  číslo 34H5710 je deliteľné 5

c)   číslo 34H5710 je deliteľné 7

d)  číslo 23876H2 je deliteľné 4

e)   číslo 23876H2 je deliteľné 8

f)    číslo 5H4758H je deliteľné 36

g)   číslo 5H4758H je deliteľné 15 ?

 

4) V štvorcifernom čísle 4x7y nahraďte x a y číslicami tak, aby vzniklo čo najmenšie číslo, ktoré je deliteľné

a) tromi                   b) štyrmi          c) dvanástimi

 

5) Prirodzené číslo je deliteľné osemnástimi práve vtedy, keď

A   je párne a jeho ciferný súčet je deliteľný tromi

B   je súčasne deliteľné dvoma a deviatimi

C   je súčasne deliteľné tromi a šiestimi

D   jeho posledné dvojčíslie je deliteľné osemnástimi

E   je deliteľné štyrmi a jeho ciferný súčet je deliteľný de­viatimi

 

3.5. Aplikovať poznatky o deliteľnosti pri vytváraní prvočíselných rozkladov zložených čísel, využívajúc poznatok, že ak sa súčin deliteľov p1, p2 prirodzeného čísla n rovná tomuto číslu, tak aspoň jeden z deliteľov p1, p2  je  £

1) Zapíšte prvočíselné rozklady čísel

a) 943                     b) 349

 

2) Čo najúspornejším spôsobom rozhodnite, ktoré z daných čísel sú prvočísla:

a) 277                     b) 899                         c) 7897                       d)10147

 

3) Napíšte čísla, ktorými treba deliť dané číslo d, ak budete chcieť úsporne zistiť, či d je prvočíslo:

a) d = 271              b) d = 901                   c) d = 7891

 

4) Koľko je trojciferných čísel, ktoré majú spoločného deliteľa (rôzneho od 1) s číslom:

a) 2                         b) 4                             c) 8                             d) 1024 ?

 

5) Dajú sa v čísle 45873602 vymeniť navzájom dve číslice tak, aby vzniknuté číslo bolo deliteľné:

a) 3                        b) 5                            c) 4                             d) 11              

e) 16 ?

Nájdite vždy všetky možnosti.

 

3.6. Určiť najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ prirodzených čísel.

 

1) Nájdite všetky spoločné delitele čísel:

a) 24, 28                 b) 25, 16                     c)60, 72                      d) 96100, 108, 304

 

2) Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel:

a) 72, 96                 b) 91, 105                   c) 99, 100                   d) 144, 720                

e) 90, 115, 320

 

3) Nájdite všetky dvojice dvojciferných čísel väčších ako 20, ktorých najväčší spoločný deliteľ je 12.

 

4) Nájdite najmenší spoločný násobok čísel:

a) 15, 20                 b) 24, 36                     c) 54, 162                   d) 4, 5, 6                    

e) 18, 75, 40

 

5) Nájdite čo najväčší počet dvojíc prirodzených čísel, ktorých najmenší spoločný násobok je:

a) 11                       b) 39                           c) 42

 

3.7. Rozoznať na konkrétnych číslach konečný a nekonečný desatinný rozvoj reálneho čísla, nekonečný periodický rozvoj, racionálne a iracionálne číslo

 

1) Dané reálne čísla usporiadajte od najmenšieho po najväčšie: 3,14; p; 22/7; 3,141; .

 

2) Rozhodnite, ktoré z nasledujúcich reálnych čísel 3,14; p; 22/7; 3,141;sú iracionálne.

 

3) Určte prevrátené čísla k číslam: 5, -3, , 0, ; 0,4; .

 

4) Zaokrúhlite čísla na stotiny:

a) 35,625                b)                          c ) 0,03548

 

5) Určte, ktoré z čísel 5, -7, , 38,2; 2p, ; 3,14 sú

a)    prirodzené

b)   celé

c)    racionálne

d)   iracionálne

e)    reálne

f)     periodické

 

3.8. Znázorniť reálne číslo na číselnej osi

 

1) Na číselnej osi znázornite obrazy racionálnych čísel:

a)   -3; 5; -7; 4,5

b)  ; ;

 

2) Znázornite na číselnej osi obrazy čísel  a  a vyznačte na nej obrazy všetkých celých čísel, ktoré ležia medzi nimi. Určte aritmetický priemer týchto celých čísel.

 

3) Na číselnej osi nájdite obrazy čísel:

a)                     b)                          c)                          d)

e)                  f):                    g) :

 

4) Na číselnú os zakreslite čísla:  .

 

3.9. Definovať racionálne číslo a zapísať ho aspoň dvoma spôsobmi.

 

1) V tvare desatinného rozvoja zapíšte zlomky:

a)                      b)

 

2) Usporiadajte vzostupne racionálne čísla: ; ; 0,34

 

3) Dané racionálne čísla zapíšte zlomkom v základnom tvare:

a)                    b)                     c)                         d)

 

4) Rozhodnite, koľko rôznych racionálnych čísel je zapísaných v tomto zozname:

; 0,375; ; 1,25;  

 

5) Na číselnej osi znázornite racionálne čísla, ktoré sú zapísané v tvare zlomku:

 

 

3.10. Napísať desatinné číslo v rozvinutom i skrátenom tvare, určiť jeho rád.

 

1) Zapíšte skráteným zápisom čísla:

a) 2 . 103 + 3 . 10 + 5 . 10-1 + 3 . 10-3

b)  4 . 10-2 + 1 . 10-5

 

2) Zapíšte dané číslo v tvare  a.10k, kde  a Î á1,10), k Î Z

a) 354 687                         b) 0,56                        c) 0,0205

 

3) Zaokrúhlite na stotiny:

a) 54,36879                       b) 2,9602                    c) 0,05679

 

4) Zaokrúhlite na tri platné číslice:

a) 23,6549                         b) 2,060343

 

5) Premeňte na jednotky v zátvorke. Výsledok píšte v tvare b.10n, kde n je celé číslo,

1 £ b < 10.

a) 856 kg (g)                      b) 78 dm (km)             c) 6,5 .10-5 hl (dl)

d) 540 . 1010 cm2 (km2)       e) 987 mm3 (dm3)

 

3.11. Definovať absolútnu hodnotu reálneho čísla a vysvetliť jej geometrický význam.

 

1) Vypočítajte:

a) | 3|                                                         b) |-1,5|          

c) |9 - 2| - |- 15 - (-3)|                            d) |7 - |4 - 11||

 

2) Na číselnej osi znázornite všetky reálne čísla, pre ktoré platí:

a) |x| = 3                 b) |x| £ 2                     c) |x| > 1

 

3) Na číselnej osi znázornite všetky reálne čísla, pre ktoré platí:

a) |x - 2| = 5           b) |x + 3| = 6               c) |x - 1,5| = 0,5         d) |x + 1| >

e) |x - | < 2       f) |x + p| > 0                g) |x - 1| < -3             h) |x + 4| > -1

 

4) Vyriešte v R rovnice:

a)   |x + 3| = 3 + 2x

b)  |7x - 1| = |21 - 9x|

c)   |x + 1| + |x - 1| = 4

 

5) Načrtnite graf a opíšte vlastnosti funkcie f :  

 

3.12. Definovať mocninu s prirodzeným mocniteľom a dokázať základné pravidlá počítania s týmito mocninami.

 

1) Vypočítajte spamäti:

a) 3001                          b) 07                            c) 25                            d)

 

2) Vypočítajte:

a)                b)          c)  

 

3) Dané výrazy vyjadrite ako mocniny so základom 2 alebo 3 a bez použitia kalkulačky vypočítajte :

a)                                   b)

 

4) Vypočítajte:

 a)                                b)

 

c)

 

5) Vypočítajte:

a)   20, 22, -22, (-2)2, ; 0,052; (-0,2)4

b)  212 . 28 . 221, (22)3 . (23)2 . (24)3

c)   5 . 0,22 + (5 . 0,2)2

 

3.13. Definovať mocninu s celočíselným a racionálnym mocniteľom.

 

 

1) Vypočítajte:

a) 20, 2-2, -2-2, (-2)-2; 0,05-2; (-0,2)-4

b) 28 . 224 . 2-36, , (2-2)-3 . (22)-3 . (2-4)-3

c)                        d)

 

2) Vypočítajte:

a)                                         b)                                      

c)                                        d)                                      

e)                                   f)

 

3) Vypočítajte a uveďte podmienky, pri ktorých majú zmysel výrazy:

a)                                  b)

c)           d) 

e)               f) 

 

3.14. Definovať odmocninu a vysvetliť vzťah medzi mocninami a odmocninami.

 

1) Napíšte pomocou jednej  odmocniny:

a)                      b)                          c)                          d)

 

2) Napíšte pomocou jednej mocniny:

a)                     b)                        c)                      d)

 

3) Upravte na jednu mocninu: 

a)                    b)           c)

 

4) Upravte na odmocninu z čo najmenšieho prirodzeného čísla:

a)                      b)                  c)  

 

 

5) Načrtnite graf funkcie f. Funkčné hodnoty vypočítajte po zjednodušení výrazu.

 

f(x) =

 

3.15. Riešiť jednoduché úlohy využívajúce operácie s mocninami s celočíselným, racionálnym i reálnym mocniteľom.

 

1) Štvorcová sieň je vyložená 4900 štvorcovými dlaždicami, z ktorých každá má obsah 225 cm2. Udajte rozmery siene.

 

2) Daná je kocka, ktorej hrana má dĺžku 6 cm. Určte dĺžku hrany kocky, ktorá má päťkrát väčší povrch.

 

3) Určte veľkosť polomeru gule, ktorej povrch je 21,81p cm2.

 

4) Daný je štvorec s dĺžkou strany 5 cm a obdĺžnik s rozmermi 6 cm a 4 cm. Ktorý z nich má dlhšiu uhlopriečku?

A  štvorec                                     

B  obdĺžnik

C  obe uhlopriečky majú rovnakú veľkosť

 

5) Telesová uhlopriečka kvádra s rozmermi 3, 4, 5 má veľkosť:

A  12                      B                     C