6. TRIGONOMETRIA

OBSAH

Aplikácia poznatkov o goniometrických funkciách pri od­vodzovaní vzťahov medzi stranami, uhlami (sínusová a kosí­nusová veta), výškami a ťažnicami trojuholníka. Vzťah medzi polomerom kružnice opísanej (vpísanej) trojuholníku a prvkami trojuholníka.

Odvodenie vzorcov na výpočet obsahu trojuholníka.

Riešenie jednoduchých trigonometrických úloh (z daných prvkov trojuholníka počítať ostatné prvky), aplikácia uvedených poznatkov v rôznych častiach matematiky (napríklad trigonometrické riešenie trojuholníka daného stranami a, c a uhlom b), fyziky i pri riešení jednoduchých (štylizovaných) úloh z praxe (kartografia, geodézia, meteorológia, kozmonautika, ...).

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

6.1. Riešiť pravouhlý trojuholník pomocou goniometrických funkcií ostrého uhla

6.2. Riešiť všeobecný trojuholník pomocou sínusovej a kosí­nusovej vety

6.3. Vyjadriť pomocou goniometrických funkcií výšky troj­uholníka, polomer kružnice trojuholníku vpísanej a opísanej, i obsah trojuholníka

6.4. Aplikovať poznatky o goniometrických funkciách a o vzťahoch medzi prvkami trojuholníka v rôznych častiach matematiky, fyziky i pri riešení jednoduchých praktických trigonometrických úloh

 

 

 

 

6. Trigonometria

6.1. Riešiť pravouhlý trojuholník pomocou goniometrických funkcií ostrého uhla.

 

1) Zostrojte pravouhlý trojuholník ABC, v ktorom dĺžka prepony c = 6 cm a zároveň sin a = 0,6.

 

2) Z daných prvkov v pravouhlom trojuholníku ABC (g = 90°) vypočítajte zvyšné prvky:

a) b = 54,5 cm, a = 49°50¢                                               b) a = 7,5 cm, vc = 5 cm

c) S = 17,4 cm2, a = 5,42 cm                                             d) a = 32°20¢, vc = 4,52 cm

 

3) Daná je kružnica s polomerom 10 cm a jej tetiva, ktorá má dĺžku 12 cm. Vypočítajte veľkosť stredového uhla, ktorý prislúcha tejto tetive.

 

4) Na vodorovnom teréne sa sadia stromčeky vo vzdialenosti b = 3,5 m od seba. Ako ďaleko od seba musíme kopať jamy pre stromčeky na svahu so sklonom a°, ak chceme zachovať vodorovnú vzdialenosť 3,5 m?

 

5) V kosoštvorci ABCD sú dané:

a)   strana a = 3, uhol a = 67°10¢. Vypočítajte jeho uhlopriečky a obsah.

b)  uhlopriečky e = 5,  f = 18. Vypočítajte jeho uhly a stranu.

 

6.2. Riešiť všeobecný trojuholník pomocou sínusovej a kosínusovej vety

 

1) V trojuholníku ABC je b = 8,4 cm, c = 6,9 cm, a = 56°. Vypočítajte veľkosť strany a.

 

2) Určte dĺžky všetkých strán a veľkosti všetkých uhlov trojuholníka ABC, ak je dané:

a = 11,6 dm, c = 9 dm, a = 65°30´.

 

3) Rozhodnite, či trojuholník ABC, ktorého strany sú

a)   a = 4 cm, b = 3 cm, c = 6 cm                       b) a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm

c)  a = 11cm, b = 14 cm, c = 18 cm                    d) a = 2x, b = x, c = 3x  (x > 0)

e)      a = 43 mm, b = 47 mm, c = 50 mm                         

je tupouhlý.

 

4) Určte dĺžku všetkých strán a veľkosti všetkých vnútorných uhlov trojuholníka ABC, ak je dané:

a)      a = 51,32 mm, c = 34,76 mm, b = 126°12´                

b)      a = 16,9 cm, b = 26 cm, c = 27,3 cm

c)      b = 64 mm, c = 29 mm, a = 47°                     

d)      a = 11,6 dm, c = 9 dm, a = 65°30¢

e)      b = 48,55 cm, g = 6°30¢, a = 69°40¢

f)        a = 188,4 mm, b = 56°18¢, g = 95°36¢

g)      b = 25 cm, c = 25. cm, g = 45°

h)      a = 38 cm, b = 48 cm, a = 37°

i)        a = 140 mm, c = 300 mm, a = 71°14¢

 

5) Rozhodnite, pre ktoré a Î {2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm} existuje aspoň jeden trojuholník ABC, taký že |CB| = a, a = 30°, b = 8 cm.

 

6.3.Vyjadriť pomocou goniometrických funkcií výšky trojuholníka, polomer kružnice trojuholníku vpísanej a opísanej i obsah trojuholníka.

 

1) Vypočítajte dĺžky strán v trojuholníku ABC, v ktorom platí: r (polomer kružnice opísanej) = 10 cm, a = 113°, b = 48°.

 

2) V trojuholníku ABC je dĺžka strany AB rovná 27 cm a uhol ACB má veľkosť 78°. Vypočítajte s presnosťou na desatiny polomer r kružnice opísanej trojuholníku ABC.

 

3) Vypočítajte obvod trojuholníka, ktorý je vpísaný do kružnice s polomerom r = 7,5 cm a ktorého vnútorné uhly majú veľkosť 72°30¢ a 43°64¢.

 

4) Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ak máte k dispozícii tieto údaje:

a) a = 3 cm, b = 4 cm, sin g = 0,62.

b) a = 25,1 cm, a = 63°, b = 38°

c) |AB| =, |AC| = ,  sin a = 0,75

 

5) Vypočítajte výšku vc v trojuholníku určenom tromi základnými prvkami.

a)   a = 7 cm, b = 9 cm, g = 42°30¢

b)  a = 7,5 cm, b = 10,3 cm, c = 12,8 cm

c)   c = 17,4 cm, b = 25,9 cm, b = 62°15¢

 

6) Vypočítajte polomer s kružnice vpísanej trojuholníku ABC, ak:

a) b = 2,8 m, a = 45°, g = 120°

b) a = 5 km, b = 7 km, g = 58°26¢

c) c = 71,6 m, b = 98,3 m, b = 79°15¢

 

6.4. Aplikovať poznatky o goniometrických funkciách a o vzťahoch medzi prvkami trojuholníka v rôznych častiach matematiky, fyziky i pri riešení jednoduchých praktických trigonometrických úloh.

 

1) V lichobežníku ABCD (AB || CD) sa:

|AB| = 73,6 mm, |BC| = 57 mm, |CD| = 60  mm,  |DA| = 58,6 mm

Vypočítajte veľkosti jeho vnútorných uhlov.

 

2) Vo všeobecnom štvoruholníku ABCD (pri obvyklom označení jeho prvkov) sa:                  a = 4,7 cm, b = 120°, b = 3,6 cm, g = 88°, c = 8,5 cm

Určte dĺžku zvyšnej strany s presnosťou na mm.

 

3) Daný je kváder ABCDEFGH, ktorého dĺžky hrán sú:

                        |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm, |AE| = 3 cm.

Vypočítajte (s presnosťou na jednotky) obsah rezu tohto kvádra rovinou EBC.

 

4) Vypočítajte povrch a objem telesa, ktoré vznikne rotáciou trojuholníka s prvkami

a)   a = 5, b = 7, g = 75°

b)  c = 8,6; a = 48°25¢, b = 76°35¢

okolo strany c.

 

5) Dve sily F1 = 10 N, F2 = 5 N pôsobia v jednom bode a zvierajú uhol s veľkosťou a = 52° 30¢. Vypočítajte veľkosť výslednice týchto síl a určte aký uhol zviera výslednica so silou F1.

 

6) Z pozorovateľne 15 m vysokej, ktorá je vzdialená 30 m od brehu, vidíme šírku rieky pod uhlom j = 15°. Vypočítajte šírku rieky.