2. VÝRAZY

OBSAH

Číslo, číslica, konštanta, premenná, znaky operácií, výraz. Prepis slovného textu, tvorenie výrazov. Výrazy s reálnymi číslami, výrazy s konštantami a premennými, hod­nota výrazu. Obor premennej a obor definície výrazu.

Mnohočlen, koeficient, stupeň a hodnota mnohočlena. Operácie s mnohočlenmi. Mnohočlen, rozklad mnohočlena na súčin a koreňový činiteľ.

Výrazy s neznámou v menovateli (algebrické) zlomky, výrazy s mocninami, odmocninami, faktoriálmi a kombinačnými číslami, výrazy s hodnotami logaritmickej funkcie, s hodno­tami goniometrických funkcií, výrazy s absolútnou hodnotou. Úpravy výrazov.

 

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

2.1. Tvoriť výrazy, zapísať slovný text pomocou konštánt, premenných a znakov operácií

2.2. Vyjadriť slovami obsah jednoduchého textu zapísaného matematickou symbolikou

2.3. Vyčísliť (upravovať) výrazy s reálnymi číslami

2.4. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu mnoho­člen, člen, koeficient a stupeň mnohočlena

2.5. Sčítať, odčítať, násobiť mnohočleny, vydeliť mnohočlen lineárnym dvojčlenom (koreňovým činiteľom)

2.6. Určiť obor definície výrazu a vyčísliť jeho hodnotu pre konkrétne reálne číslo

2.7. Poznať vzorce (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3, využiť ich pri úpravách výrazov

2.8. Upraviť výrazy s mocninami a odmocninami, s faktoriál­mi, upraviť výrazy obsahujúce hodnoty funkcií sin, cos, tg, cotg a log i výrazy s absolútnou hodnotou

 

2. Výrazy

2.1. Tvoriť výrazy, zapísať slovný text pomocou konštánt, premen­ných a znakov operácií.

 

1) Zapíšte pomocou premenných:

a)   súčet druhých mocnín troch po sebe idúcich ľubovoľných prirodzených čí­sel,

b)  tretiu mocninu súčtu dvoch ľubovoľných celých čísel,

c)   druhá mocnina podielu súčtu a rozdielu dvoch reálnych čísel sa rovná 1.

 

2) Zapíšte pomocou premenných:

a) rozdiel druhých mocnín dvoch ľubovoľných reálnych čísel,

b) tretiu mocninu súčtu dvoch ľubovoľných reálnych čísel,

c) ľubovoľné párne, resp. nepárne číslo.

 

3) Pomocou premenných a kvantifikátorov vyjadrite formulácie:

a) Druhá mocnina každého reálneho čísla je nezáporná.

b) Existuje prirodzené číslo, ktoré je koreňom rovnice x2 - 9 = 0.

 

4) Rozhodnite, ktoré písmená sú v daných výrazoch premennými a ktoré konštantami:

a) V = pr2v  (Vzorec pre objem rotačného valca)

b) Roviny w, j sú navzájom kolmé.

c) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

d) Bod A neleží na priamke a.

Vymedzte obory všetkých premenných.

 

5) Zapíšte pomocou vhodne zvolenej premennej postup výpočtu v tejto zábavnej úlohe: "Zvoľte si ľubovoľné prirodzené číslo, pripočítajte k nemu 7, výsledok násobte piatimi, odpočítajte 30, výsledok násobte dvoma, získané číslo mi povedzte a ja vám poviem, ktoré číslo ste si pôvodne mysleli."

Akým počtovým postupom možno zistiť pôvodné číslo z výsledku?

 

2.2. Vyjadriť slovami obsah jednoduchého textu zapísaného matema­tickou symbolikou.

1) Vyjadrite slovami:

a) (a - b)2;  a, b Î R                      b) a3 + b3;  a, b Î R

c) [3(a - b)]2;  a, b Î R                  d) 2(a3 + b3);  a, b Î R

e) 2a3 - 2b3;  a, b Î R                    f)  (2n - 1) + (2n + 1);  n Î N

2) Vyjadrite slovami:

a)   "x Î R;  =  |x|                   b)  $x Î R; (x + 1)2 < 1

 

2.3.Vyčísliť (upravovať) výrazy s reálnymi číslami.

 

1) Určte hodnotu výrazu V(a) pre a = 2.

              V(a) =

                 

2) Určte hodnotu výrazu V(a,b) pre a = , b =

            V(a,b) =

    

3) Určte hodnotu výrazu V(r) pre r = -2 a r = .

 

            V(r) =

 

4) Vypočítajte: (0,0625) - 0,25  =

 

5) Aký menovateľ bude mať zlomok

      

ak ho upravíte na základný tvar?

 

2.4    Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu mnohočlen, člen, koeficient a stupeň mnohočlena.

 

1) Dané sú mnohočleny: P(x) = 2x3 + 4x2 - 5x + 7, Q(x) = 3 - 2x2, R(x) = -3x + 5x2 + 2.

a) Určte ich stupeň.

b) Vymenujte ich členy.

c) Určte: kvadratický člen mnohočlena P(x),

 lineárny člen mnohočlena Q(x),

 absolútny člen mnohočlena R(x).

d) Určte koeficienty lineárnych členov jednotlivých mnohočlenov.

e) Vypočítajte hodnoty: P(2), Q(0), R(1).

f) Určte mnohočlen W(x) = Q(x) . [P(x) - R(x)].

 

2.5. Sčítať, odčítať, násobiť mnohočleny, vydeliť mnohočlen line­árnym dvojčlenom (koreňovým činiteľom).

1) Určte výraz, ktorý musíme pripočítať k výrazu (x + y)2 + z2, aby sme dostali výraz (x + y - z)2

 

2) Upravte: (2x2 - x - 1) : (x - 1) =

 

3) Zapíšte ako súčin:

a) x2 - 0,3x                        b) 12x2 - 48                           c) 3x2 - 5x                

d) x2 - 6                             e)  2x2 - 81                             f)  (x + 1)2 - 4

g) (x + 3)2 - (x - 1)2              h)  x3 - 16x

 

4) Dané trojčleny rozložte na súčin lineárnych dvojčlenov a pritom určte ich najmenšiu hodnotu:

a)       x2 + 16x - 17              b)  x2 - 8x +12                                   c)  x2 - 2x - 3

d)     x2 + 5x - 50                 e)  x2 - 5x - 6                        f)  x2 - x - 110

g)     2x2 - 6x - 20               h)  x2 - 0,6x - 0,16                i)  4x2 - 6x + 2

 

2.6. Určiť obor definície výrazu a vyčísliť jeho hodnotu pre kon­krétne reálne číslo.

1) Daný je výraz

            V(x) =  

Určte: a) obor definície tohto výrazu

b) hodnotu výrazu pre x = 1, x = -2, x = 2

 

2) Určte hodnotu výrazu V(a,b) pre:  a) a = 2, b = 0

 b) a = 1, b = 106

            V(a,b) =  

 

3) Určte obor definície výrazu

 

                        W(x) =

 

i jeho hodnoty pre x Î.

 

2.7. Poznať vzorce (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3 a využiť ich pri úpravách výrazov.

1) Určte výraz V(a), ak platí 

 

2) Upravte:  a) [(3x + y)2 - (x - 3y)2] . 2xy =

 b) (2x - 1)3 - 8(2 - x)3 =

 

3) Upravte: 

 

4) Upravte:   =

 

5) Upravte: (27x3 - 8) : (3x - 2) =

 

2.8. Upraviť výrazy s mocninami a odmocninami, s faktoriálmi, up­raviť výrazy obsahujúce hodnoty funkcií sin, cos, tg, cotg a log i výrazy s absolútnou hodnotou.

1) Upravte výraz: 

 

2) Upravte: a)  =

b)   

 

3) Zjednodušte výraz:                      

 

4) Zjednodušte: 

 

5) Zjednodušte (upravte) výraz F(n).

            F(n) =