8.2 Zobrazenia

8.2.1 Chápať pojem geometrické zobrazenie, definovať podobné a zhodné zobrazenie v rovine

8.2.2 Využívať vety o podobnosti a zhodnosti trojuholníkov pri výpočtoch prvkov geometrických útvarov

8.2.3 Sformulovať Euklidove a Pytagorovu vetu

8.2.4 Vysvetliť pojem súmernosť rovinných útvarov

8.2.5 Určiť stredy rovnoľahlosti dvoch kružníc

 

 

8.2.1 Chápať pojem geometrické zobrazenie, definovať podobné a zhodné zobrazenie v rovine.

1) Narysujte štvorec ABCD s dĺžkou strany 4 cm. Zostrojte stredy jeho strán a postupne ich označte E, F, G, H (E je stred strany AB). Zostrojte stred úsečky FH a označte ho M. Určte, v ktorom zobrazení sú si priradené body v daných tabuľkách, a tabuľky doplňte.

     

Vzor

A

E

C

 

 

 

Vzor

G

D

A

 

 

Obraz

D

G

 

F

G

 

Obraz

F

B

 

E

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vzor

H

A

 

 

E

 

Vzor

C

B

 

E

 

Obraz

M

E

G

F

 

 

Obraz

A

D

B

 

F

 

2) Daný je štvorec ABCD. Určte všetky osové súmernosti, v ktorých je tento štvorec samodružným útvarom.

 

3) Určte samodružné body a samodružné priamky:

a) osovej súmernosti                                               b) stredovej súmernosti

c) posúvania                                                           d) otáčania

e) rovnoľahlosti

 

4) Daný je trojuholník ABC. Zostrojte obraz trojuholníka ABC v rovnoľahlosti H s koeficien- tom h. Za stred rovnoľahlosti voľte postupne vnútorný bod trojuholníka ABC, bod na obvode trojuholníka ABC a vonkajší bod trojuholníka ABC.

a) h = 2                       b) h = -1,5                        c) h = 0,5

 

5) Načrtnite obraz trojuholníka ABC (A[-3, -3], B[-1, -3], C[-3, -1]) a určte súradnice vrcholov obrazu:

a) v súmernosti podľa stredu v bode O[0, 0],

b) v súmernosti podľa osi y,

c) v posúvaní, ktoré prevedie bod [0, 0] do bodu [1, 1].

6) Obdĺžnik Q môže byť obrazom obdĺžnika P vo viacerých zhodných zobrazeniach v rovine. Ktoré zhodné zobrazenie v rovine nemôže zobraziť obdĺžnik P ako obdĺžnik Q?

A  Otáčanie

B  Posúvanie                                                                    

C  Osová súmernosť                                                         

D  Stredová súmernosť                                                                               

E  Posunutie zložené s osovou súmernosťou

 

8.2.2 Využívať vety o podobnosti a zhodnosti trojuholníkov pri výpočtoch prvkov geometrických útvarov

 

1) Rozhodnite, či sú (pri vhodnom poradí vrcholov) podobné trojuholníky, ak viete, že:

a) jeden má dĺžky strán 12 cm, 16 cm, 19 cm, druhý 10 cm, 13 cm, 15 cm

b) jeden má vnútorné uhly 42° a 84°, druhý 84° a 54°

c) jeden má strany cm, cm a uhol nimi zovretý má veľkosť 55°, druhý 2 cm; 1,75 cm a uhol nimi zovretý má veľkosť 55°

 

2) Na obrázku sú časti dvoch trojuholníkov. Jeden má stranu dlhú 4 a veľkosti uhlov k nej priľahlých sú 65° a 85°. O druhom z nich vieme, že oproti uhlu s veľkosťou 30° leží strana s dlžkou 5. Uhol priľahlý k tejto strane má veľkosť 85°. O týchto dvoch trojuholníkoch môžeme s istotou tvrdiť, že

A   sú zhodné                                                                               

B   sú podobné, ale nie sú zhodné                                                 

C   sú zhodné, ale nie sú podobné                                                 

D   nie sú podobné                                                

E   nemožno rozhodnúť, pokiaľ nevidíme celé trojuholníky

 

 

3) Zostrojte výšky va, vb, vc v ostrouhlom trojuholníku ABC. Ich päty označte A0, B0, C0. Určte všetky podobné trojuholníky s vrcholmi A, B, C, A0, B0, C0, ktoré vzniknú konštrukciou.

 

4) Rozdeľte danú úsečku AB bodom V na dve časti tak, aby:

a) çAB ç : çBV ç =  3 : 5                                       b) çAV ç : çBV ç =  :  2

c) çAV ç : çBV ç =  4 :                                   d) çAV ç : çBV ç =  :

 

5) Zvislá metrová tyč vrhá tieň 150 cm dlhý. Vypočítajte výšku veže, ktorej tieň je v tom istom čase dlhý 36 m.

 

6) Z dvoch podobných trojuholníkov má jeden obvod 100 cm, druhý má dĺžky strán postupne o 8, 14 a 18 cm dlhšie ako prvý. Urči dĺžky strán oboch trojuholníkov.

 

7) Určte merítko mapy, ak je les tvaru trojuholníka s rozmermi 1,6 km, 2,4 km a 2,7 km zakreslený na mape ako trojuholník so stranami dlhými 32 mm, 48 mm a 54 mm.

 

8) Bežný kancelársky papier má formát A4. Keď ho prehneme na polovicu, dostaneme papier formátu A5. Rozmery obdĺžnika A4 sú volené tak, aby obdĺžniky formátov A4 a A5 boli podobné. Určte d - pomer dĺžky ku šírke papiera formátu A4 a k - koeficient  podobnosti obdĺžnika formátu A4 s obdĺžnikom formátu A5.

 

9) Trojuholníky ABC a A´B´C´ sú podobné s pomerom podobnosti k. Čo platí o pomere:

a) ich obvodov?                                                     b) ich obsahov?

 

8.2.3 Sformulovať Euklidove a Pytagorovu vetu

 

1) Vypočítajte prvky (a, b, c, ca, cb, vc, a, b) pravouhlého trojuholníka ABC (çÐCê = 90°), ak:

a) c = 10 cm, ca = 7 cm                                          b) a = 5 cm, ca = 4 cm

c) b = 5 cm, c = 13 cm

 

2) Vypočítajte dĺžky strán pravouhlého trojuholníka ABC ( êÐCê= 90°), ak ta = 8 cm,

tb = 12 cm.

 

3) Rozhodnite, či trojuholník, ktorého strany majú dané dĺžky je pravouhlý:

a) 3 cm, 4 cm, 6 cm                                               b) 5 cm, 12 cm, 13 cm

c) u2 - v2, 2uv, u2 + v2

 

4) Určte obsah pravouhlého trojuholníka ABC s preponou |AB| = 10 cm, ak jeden úsek na prepone má veľkosť 7 cm.

 

5) Vypočítajte dĺžku tetivy v kružnici s polomerom 15 cm, ak tetiva rozdeľuje priemer na ňu kolmý v pomere 1 : 12.

 

8.2.4 Vysvetliť pojem súmernosť rovinných útvarov

 

1) Určte počet zhodných zobrazení, v ktorých je pravidelný šesťuholník samodružný útvar. Koľko z týchto zobrazení je osových súmerností, koľko je stredových súmerností a koľko otáčaní? Riešte túto úlohu tiež pre pravidelný n-uholník .

 

2) Určte všetky stredy a osi súmerností nasledujúcich útvarov:

a) štvorec                                                               b) obdĺžnik

c) kosoštvorec                                                       d) kosodĺžnik

e) rovnostranný trojuholník                         f)  kružnica

g) deltoid                                                               h) rovnoramenný lichobežník

i)  rovnoramenný trojuholník                                   j)  kruhový odsek

k) elipsa                                                                 l)  parabola

m) hyperbola                                                          n) rovnoosová hyperbola

 

3) Vypíšte všetky tlačené písmená veľkej abecedy, ktoré sú:

a)   súmerné podľa osi                                             b) súmerné podľa dvoch osí

c) súmerné podľa stredu

 

4) Ktorý zo štvoruholníkov "kosodĺžnik, kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec, rovnoramenný lichobežník" má stred súmernosti a nemá os súmernosti?

 

8.2.5 Určiť stredy rovnoľahlosti dvoch kružníc

 

1) V rovine je daný bod S a kružnica k(K, r). Zostrojte obraz kružnice k v rovnoľahlosti H(S, h), ak:

a) h = 2                                                                 b) h = 0,5

c) h = -1                                                               d) h = -0,5

e) h = -2                                                               f)  h = 1

 

2) Ukážte, že dve rovnobežné úsečky rôznych dĺžok môžu byť vždy dvojakým spôsobom rovnoľahlé.

 

3) Zostrojte stredy rovnoľahlosti kružníc k(K, r) a k1(K1, r1), kde r ³ r1, v nasledujúcich prípadoch:

a) |KK1| > r + r1                                                     b) |KK1| = r + r1         

c) |KK1| < r + r1                                                     d) |KK1| = 0    

 

4) Zostrojte stredy rovnoľahlosti kružníc k(K, r) a k1(K1, r)  v nasledujúcich prípadoch:

a) |KK1| > 2r                                                          b) |KK1| = 2r  

c) |KK1| < 2r                                                          d) |KK1| = 0    

 

5) Zostrojte spoločné dotyčnice kružníc k(K, r) a k1(K1, r1), kde r ³ r1, v nasledujúcich prípadoch:

a) |KK1| > r + r1                                                     b) |KK1| = r + r1         

c) |KK1| < r + r1                                                     d) |KK1| = 0